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第十三次 关系（第1页）

第十三次关系

提要：界域、逆界域、范限、反逆的概念自反性、对称性、传达性的定义及其相关情形

“吴先生！逻辑传统比现代逻辑的范围窄，是不是？”王蕴理问。

“是。”

“窄在什么地方呢？”王又追问。

“很多，很多，最明显而易见的地方，是逻辑传统没有将关系的研究包含进去。我想……如果当初逻辑传统将关系的研究包含进去，它的内容一定比较丰富得多。‘关系’（relation）在逻辑里很重要，如果没有关系，那么逻辑的内容恐怕要少掉许多。十九世纪有位德国逻辑家叫作施罗德（Schroeder），他对于关系就作过许多研究，蔚为大观。

“关系既然这样重要，吴先生可不可以讲点给我们听呢？”周文璞问。

“当然可以，不过……关于关系的研究，认真说来，在逻辑各部门中是最复杂的一部门，我们现在只好简单地谈谈。”

“关系是什么呢？”王蕴理问。

“我们最好先不谈这个问题。就一派哲学的说法，关系好像是空气，无所不在的东西。这种说法，无论通或不通，似乎不在逻辑范围以内，所以我们不必讨论。如果从纯逻辑观点来推敲什么是关系，那么必须从函数论（theoryoffuns）开始，这非我们现在之所宜。我们现在所须知道的，是‘关系’一词在各种情形之下的用法。照科学家看来，宇宙之间事事物物总是以各种不同的方式联系起来的；物理的事物彼此有空间关系，或有引力关系；人同人之间，是靠婚姻、血统、朋友、同学、同事、同队等等关系联系起来的。

“关系，我们首先可以从两种观点来讨论。第一种观点是从关系的性质（property）来考察；第二种是从关系的外范之数目来考察。就我们现在的目的而言，我们只能多注意到关系的性质方面。在谈关系的种种性质以先，为了便于了解起见，我们要介绍几个概念。”

老教授一条一条地写着：

“界域（domain）：一种关系R的界域乃使R与各种事物发生联系的一切事物之类。例如，‘作丈夫’关系的界域乃一切丈夫之类。

“逆界域（versedomain）：一种关系R的逆界域乃该关系R由之而生的一切事物之类。例如‘作丈夫’的关系之逆界域，乃一切妻子之类。没有妻子，当无丈夫之可言。当然，我们也可以说‘丈夫’之类乃‘作妻子’的关系R之逆界域。

“范限（field）：一种关系R的范限乃属于关系R的界域与逆界域的一切事物之类。换句话说，范限乃一种关系R的界域及逆界域之逻辑和（logicalsum）。例如，一切丈夫与妻子的类乃‘作丈夫’的关系之范限，也是‘作妻子’的关系之范限，也是‘夫妇’关系之范限。

“反逆（verse）：关系R的反逆，乃当任何时候a与b有R关系时，b与a所具有的关系。‘在东’的关系乃‘在西’的关系之反逆。‘被称赞’这种关系，乃‘称赞’关系之反逆；一种关系R的反逆之界域的分子与R的逆界域的分子相同。

“谈到关系的性质，基本的有三种，即自反性（reflexivity）、对称性（symmetry）和传达性（transitivity）。而每一种都有其反面和中间情形，所以一共有九种。

“自反性，一谈到自反性，我们不要望文生义，以为是‘吾日三省’中的那种‘自反’。那种‘自反’，是在道德修养上做功夫；也不是所谓‘自反的思想’（refleking）中的‘自反’。这种自反，至少在一种意义之下，是思想反照着思想。我们现在所说的自反是一种纯粹的关系，一个类是它自己，一个语句是它自己。用符号来表示是：

xRx

“如果aRa对于关系R的范限之每一分子为真，则此关系R是自反的。‘相似’是一种自反关系。一个人，无论如何，在任何情形之下，总是与他自己相似的。

“自反的反面是不自反（irreflexive）关系。如果aRa对于关系R的范限之每一分子为假，则此关系是不自反的。‘异于’是不自反的关系。任何人不能‘异于’他自己。‘作儿子’的关系是不自反的，任何人不能够自己作自己的儿子；‘作父亲’的关系也不是自反的，一个人不能是他自己的父亲。不自反关系，在我们现在看来，似乎无关重要，不值一提，这是因为我们没有碰见逻辑上比较精细的问题。类的分子关系（classmembership）是不自反的，这点就甚关重要，如果不然，我们说类是它自己的分子，那么便会引起极严重的自相矛盾。这种自相矛盾，是一种诡论。现代逻辑家费了很大的气力才消除了这种诡论的。

“在自反与不自反之间有准自反（mesoreflexive）关系。如果aRa在有些情形之下为真，而在另外的许多情形之下为假，则关系R为准自反，‘欣赏’便是这种关系。有人自我欣赏，有人不好意思，所以，是准自反的。在一类人中，‘自傲’是准自反性的关系，因为，在一类人中，有的人自傲，有的人不自傲。可能自反而不必然自反的关系就是准自反关系。

“对称性。如果无论在何情形之下aRb为真则bRa亦真，则关系R是对称的。‘夫妇’关系是对称的，如果a与b有夫妇关系，则b与a也必有夫妇关系。中国传统的建筑多半是对称性的；皇帝两边有左臣右相，也是对称的。曹操款待刘备，青梅煮酒论英雄时，若曹操坐在刘备对面，刘备也当然坐在曹操对面。‘对面’就是有对称性的。‘同年’有对称性，如果张三与李四是同年的，那么李四一定也与张三是同年的。不过，逻辑并不涉及类此一个一个有对称性的特殊关系，而只研究普遍的对称性。对称性用符号表示出来是：

如果aRb那么bRa

“在黑板上所写的公式中，a、b……表示关系项之变量。R表示任何关系。于是这个公式读作：如果a与b有R关系，那么b与a有R关系。假若有a、b是一对双生子，如果我们说a的相貌像b，那么我们也得承认b的相貌像a。因为‘相像’是对称的。在这种关系之中的两项，无论怎样对词，总是说得通的。

“可是，并非所有的关系皆有对称性。周文璞，我现在请问你，如果a是b的弟兄，那么b是否是a的兄弟？”吴先生慢慢吸烟，等着周文璞回答。

“大概是吧！”

“哈哈，大概是的！我说大概不是的。逻辑界域里有什么大概可言？”老教授忍不住笑道，“如果苏辙是苏轼的弟兄，那么苏轼是不是苏辙的兄弟？请你再想想。”

“当然是的。”

“好吧！那么我再请问你，如果苏轼是苏小妹的弟兄，那么苏小妹是不是苏轼的兄弟？”

周文璞愣住了。