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四从数学问题说到我们的思想（第2页）

BC2=AB2+CA2+2AB×DA

照上面别人的吩咐，若A是直角，DA等于零，所以式子右边的第三项没有了；若A是钝角，DA是正的，这第三项也是正的，便要加到前面的两项的和去；若A是锐角，DA是负的，这第三项也是负的，便只好从前面的两项的和减出来。

到了这一步，毕达哥拉斯的定理算是真进步到很普遍、很单纯了。记起来既便当，用起来也简单，依据它要往前进展自然容易得多。

上面只是讲到几何方面的进展，以下再来讲数论方面的，这和图没有关系，所以我们先将它用简单的式子写出来，就是：

x2+y2=z2

从这个式子，很可以发生出许多有趣味的问题，比如说，x，y，z若是相连的正整数，能够合于这个式子的条件的，究竟有多少呢？所谓相连的整数就是后一个比前一个只大一的，假如我们设y的数值是n，x比它小1，就应当是n减1，z比它大1，就应当是n加1，因为它们合于这个式子的条件，所以：

（n-1）2+n2=（n+1）2

将这个方程式解出来，我们知道n只能等于0或4，而y等于0，x是负1，z是正1，这不是三个连续正整数。所以y只有等于4，x只有等于3，z只有等于5。真巧极了，这便是中国的老数学书上的“勾三股四弦五”的说法！我们的老祖宗真比我们聪明得多！

由别的方面，若x，y，z都是整数，也还有许多性质可以研究，而且都是很有趣的，但这里不是编数学讲义，只得放过一旁暂且不表。

掉过方向，不管x，y，z，来看它们的指数，若那指数不是2而是n，那式子就是：

xn+yn=zn

n若是比2大的整数，x，y，z就不能全都是整数而且还没有一个等于零。

这是数学上很有名的费马大定理。这个定理是在17世纪就说出来的，可惜他自己没有将它证明。一直到了现在，研究数学的人，既举不出反证来将它推翻，也还是找不出一般的证明法。现在只算做到了这一步，n在一百以内，有了些特殊的证法。[16]

关于数学的话，说起来总是使看的人头痛的，不知不觉地就写了这一大段，实在抱歉得很，就此不再说它，转过话头吧！我的本意只想找点例子来说明，我们的思想若是只就特殊的范围去找精明、巧妙的法则，不向普遍的、开阔的方面发展，结果就不会有好的多的收获。前面所举的例子，将我们自己去比别人，就很可以看出，由于思想的进向不同，我们实在吃亏不小。现在很有些人提着嗓子高喊提倡科学了。说到提倡科学，当然不是别人有了飞机我们也有几个人会架着兜几个小圈子就算完事的，也并不是跟着别人学造造牙刷、牙粉就可算数的。真正要提倡科学，那么，不但别人现在已经知道的，我们都应该有人知道，而且还要真有些人能够同着别人排了队向前走，这才没有一点儿惭愧！然而谈何容易！

照我的蠢想法，倒觉得大炮、毒瓦斯那些杀人的家伙，我们永世不会造也好。多有些人懂得造，其结果，自然是棺材铺打牙祭——要的是人死。我们不会造，借此也可以少作些孽。就是牙粉、牙刷、汽车、电灯，暂时造不好，横竖别人造出来总会争着卖给我们用的，所以也还没有什么。请不要误会，以为我是不顾什么国计民生，甘心替什么帝国主义、资本主义当奴隶！真喜欢当奴隶，会造牙粉、造牙刷，也好去当，而且也许当起来更便当些！你只要看所谓奴隶走狗之流总是新人物比旧人物来得多，就可以恍然大悟了！

究竟，西洋人现在闹得满天价响的所谓文明，所谓科学，也不过二百来往年[17]努力的结果。现在谢谢他们，地球总算已因了他们而缩小了，兜一个圈子不过一个多月，只要不经过中国的内地。所以他们有点什么花头，也瞒不了我们。很可以说一句乐观的话：西洋人究竟只有那么多，我中国人马马虎虎说也有四万万[18]，从现在就努力，客气点，五十年，不怕不会翻筋斗。然而所谓努力者，从哪里起手呢？提倡科学！提倡科学！这是不容怀疑的！所谓提倡科学，究竟是怎么一回事呢？第一要紧的是要培养点科学的头脑！

什么是科学的头脑？呀！要回答吗？一句话两句话固然说它不完，十百句话又何尝一定说得完呢？若只就我现在一时的感兴所及来回答，那最先一步，就是思想的进展的抽象的能力。有了这抽象的能力，在百千纷纭繁杂的事象中，自然可以找出它们的普遍的法则来支配它们，叫它们想逃也逃不脱。但是这样的能力我们是怎样地缺乏啊！

有人说，中国人的抽象能力，实在够充足了。所以十二三岁的小学毕业生，就会想到人生观、宇宙观那些大问题上面去，而且他们不要一两年，就会颓废、消极、悲观……这种事实，本是很明显地摆在我们眼前的，我一点没有忘了它。不过这样的抽象，假如真也算得来抽象的话，那么我这里所说的抽象，字面上虽没有两样，本质却有些不同。怎样地不同，大约应得略略加以说明了吧！

这里所说的抽象，是依据了许多特殊的事例去发现它们的共同点。比如说，我们先有了一个鸡兔同笼那样的题目，我们居然找出了一个法则来计算它。固然我们很可高兴，很可满足了，但我们却不可真就到此止步，我们应当找些和它相类似的题目来把我们所找出的法则推究一番。我们用了那八方桌和六方桌的例子检查出我们从小说上得来的方法，须得多少加些条件进去，它才能解决我们的新问题。最初一折半后，一减就可得到答数的，后来，却不能这样简单。这所以不能简单的原因在什么地方呢？那就是因为最初碰到的一个例子，具有一个特殊的条件，我们就是将计算的手续忽略了一段也没有什么关系，所以原来的可以简单，对于一般的例子说，只好算是偶然的。偶然的机会，在特殊事象中，都包含得有，所以要除掉它，那只有多集些特殊事实来比较。有一个鸡兔同笼的题目，有一个八方桌和六方桌的题目，又有一个一百和尚吃一百馒头的题目，若再去寻，比如还有一个题目是：十元钞票和五元钞票混在一只袋里，一共是十张，值八十块钱，求每种有几张。将这四个题目并在一道，我们再去研究它们的运算法，我们定可以得出一个较普遍的法则来。这不过是用来做例子，我们所要求的方法，并不是只要能对付一类的题目就可以满足的。我们有了这种方法以后，我们还得将题目改变一下，弄复杂些，进一步再求出更普遍的法则。说到这里，关于鸡兔同笼这一类的题目，数学教科书上四则问题中所已给我们的也不就是真正很普遍，假如关在笼子里的不只兔子和鸡儿，还有别的三只脚、五只脚的东西，它一样不够用，于是乎我们又有了混合比例的法则。实实在在，这一类的题目，混合比例的说明才是普遍的、根本的。

平常我们很喜欢想大题目，同时又不愿注意到一个一个的特殊的事实，其结果只是让我们闭了眼睛去摸索，去武断。大家既都丢开了事实不提，各人就都可以说出些无法对证的道理来。然而，真是无法对证吗？决不是这样，遇到了脚踏实地的人，就逃不过他的手。我们倘使终天都只关在屋子里，那么地球你说它是方的也好，你说它是圆的也好，就是你说它是三角的、五角的也没有什么不好。但若是有一天你居然走出了大门，而且还走得很远，竟走到了前面就是汪洋大海的地方，你又见到了有些船开到远处去，有些船从远处开近来，你就会觉得说地球是三角的、五角的、方的都使不得，你不得不承认它是圆的。这，你就和真相接近了。走出大门和关在屋子里极大的不同，就是接触的事象一个很繁杂，而一个却很简单。

真正的抽象是要根据事实的，根据的事实越多，所去掉的特殊性也随了更多，那么留存下来的共通性自然越是普遍的了。所谓科学精神就是耐得下烦去搜寻材料，静得下心去发现它们的普遍的法则。所谓科学的头脑，就是充满着这精神的头脑！可惜，我们很缺乏它！

指南针是中国人发明的，不错，中国人很早就知道了它的用场！但若要问：它为什么老是指着南方？我们有什么理由可以相信它，决不会和我们开玩笑，来骗我们一两回？究竟有几个回答得出来？

瓷器，中国的也呱呱叫，这也不错，中国的瓷器真很有名色，而且历史也长久了。但若要问，瓷器的釉，是哪几种元素？“元素”？这个名字已够新鲜了，还要说有多少种？

说是，这些都是知其然而不知其所以然，大约批评得很对。但是，我们就得小心了！凡事都只知其然，而不知其所以然，那所知的也就很有些不可靠！即或居然可以措置裕如，也只好算是托天之福！要促它进步，要图它发展，都不是但靠着知其然就行的。

有一次，我生点小毛病，去找了一个西医看，他向我说，没有什么要紧，叫我去买点大黄吃。我买了大黄回到家里，碰巧一位儒医朋友来了。他是和我很要好的，见我拿着大黄回去，他就问我为什么要吃大黄，又问我是找什么人看的。我一一地告诉了他，他那时还我的一副脸孔，我现在还记得很清楚，无异于向我说：“西医也用中国药！”他一面好像感到可以骄傲，一面就更看轻西医。然而我总有这样的偏见，就是中国药，儒医叫我吃，我实在有九分九不敢去试。我很懂得中国医生用的药，很有些对于病是具有特殊的效力的。然而它为什么有那样的效力？和它治的病有什么关系？吃到肚里是点什么作用，所以将病治好？这总没有人能够规规矩矩地用人话回答得上来。我哪里肯将我的生命去尝试呢？

人家也常常这样说，中国医生是靠经验，几代祖传儒医的所以可靠，就是他不但有自己的经验，还承受了他的祖宗的。所谓经验，不过是一些特殊事实的堆集。无论它堆得怎样高大，总没有什么一贯的联系，这要普遍地将它运用，哪能不危险呢？倘使中国的儒医，具有一种抽象的能力，对于他们所使用的灵方，能够找出它的所以然的原因来，这不但可以对于治病真有把握，而且也就随时可以得到新的发展！

像数学那样缺少一般的所谓实用价值的东西，像指南针、瓷器那样的最切实用的东西，又像那医药人命攸关的东西，无论哪一样，我们中国几千年来，大家只靠着祖传和各自的断片的经验去弄它，老实说，真有些费力不讨好了！这些哪一件不是科学的很好的对象？自然，我们尽管叫喊着提倡科学，提倡科学，科学终于不曾提倡起来，这不能不说是我们的脑子有一点什么缺陷吧！

话说得有点语病了，也许要得罪人，须得补足几句。所谓脑子有一点什么缺陷，不是说中国人的脑子先天地就不如人，不过是说，后天的使用法，换句话，就是思想发展的路径，有些两样。倘然大家能够转过方向，那么，我们的局面也就会大大改变了！

因为我们的缺乏抽象力，不但系统的科学、系统的哲学不能产生，就在日常生活中，我们真也吃尽苦头！最显明而容易见到的，就是我们在生活上，很少能从事实得到教训，让我们有一两条直路走。别的姑且不提，单看我们这十几年来过的日子，和我们在这日子中的态度。甲军阀当道，我们焦头烂额地怨恨他，天天盼望他倒下来。乘这机会，乙军阀就取而代之，我们先是高兴，高兴有不焦头烂额的希望，但不到几天乙就变成甲的老样子。免不得我们还只好焦头烂额地怨恨他，天天盼望他倒下来。乘这机会，丙军阀又取而代之，老把戏换几个角色又来一套。这样一套又一套地，只管重演，我们得到了什么出路没有呢？

多么有趣味的把戏呀！啊！多么有趣味的把戏呀！乙军阀、丙军阀，难道他们真是那样地蠢，全不知道甲军阀、乙军阀所以会倒的原因吗？我们为什么又这样地呆，靠甲不行，想靠乙，靠乙不行，又想靠丙呢？原来乙、丙是这样想的，他不行，我和他不一样，所以他会倒我总不会倒。我们对于乙、丙，也是这样想的，甲不行，乙、丙比他总好一点。行！好一点！从哪儿看来的！为什么我们不会想一想，军阀有一个共通性格，这性格，对于他们自身，是叫他们没有久长的寿命，对于我们就叫我们焦头烂额！无论什么人只要顶得上军阀的帽子，那共通性就像紧箍咒一般套在他的头上，他就会叫人焦头烂额，叫自己倒下来。

我们没有充分的抽象的力量，我们不能将一些事实集在一块，发现它们的真正的因果关系。因而我们也找不出一条真正的趋吉避凶的路！于是我们只好踉踉跄跄地彷徨！我们只好吃苦头，一直吃下去！

我们吃苦头，若是已经够了，那么，好，我们就应当找出那所以吃苦头的真实的、根本的原因。然而要发现这个，全靠我们的思想当中的抽象力！这是怎么地不幸呀！偏偏我们很缺少它！

[14]打交涉：今作“打交道”。

[15]宁馨儿：原意是“这么样的孩子”，后来用作赞美孩子的话。

[16]费马大定理在被提出后，经历了一代又一代数学家的研究，终于在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

[17]二百来往年:今作“二百多年来”。

[18]此处为作者所处时期的人口数量。