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九韩信点兵（第2页）

我非常不服气，

——别人告诉过你的！

——还这样不上进，祖父真生气了。

从那夜起，一直两三天，我见到祖父就怕，我没有一个时候不想这个题的算法，真弄得吃、玩、睡都是惝恍的。终于还是我的哥哥把算这个题目的秘诀告诉了我，而且说，这叫“韩信点兵”。这我才虽是十分懊丧，却慢慢地丢开了去。

现在想起来，那次的遭遇以及祖父所给我的教训实在是我的年龄所不应当受的。不过这样的硬教育，对于我也有很大的功劳，我对于数学能有较浓厚的兴趣，一半固然由于别人所给的积极的鼓励，而一半也由于这种差不多是我所担受不起的遭遇和教训。数学本来有时会叫人头痛的，然而经过一次头痛，总有一次的进益。这次的遭遇，对于本问题，我自己直接虽是一无所得，但对于思索问题的途径，确实得到了不少的启示。在当时，有些自以为有了理解的，虽也不免浮泛或错误，但毕竟增长了一些趣味和能力。因此我愿以十二分的诚意，将这段经过叙述出来，以慰勉一部分和我有相类的遭遇的读者。

现在我们言归正传。

所谓“韩信点兵”，就指的是那位盐老板所给我的问题的算法。“韩信点兵”这个名词虽是到了明时程大位的《算法统宗》才见到的，但这个问题在中国数学史上却很有些来历，到了卖盐老板都知道，也可以当得起“妇孺皆知”的荣誉了。

这题目最早是见于《孙子算经》，《孙子算经》确实是什么时候什么人所作的书，现在虽然难以考证，大约是二千多年前的作品确实是不容怀疑。在《孙子算经》上，这题目原是这样的：

“今有物不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？”

在原书本归在下卷中，到了宋时，周密的书中却有“鬼谷算”和“隔墙算”的名目，而杨辉又称为“剪管术”，在那时便有秦王暗点兵的俗名，大约韩信就是从秦王变来的，至于“明点”“暗点”那本没有什么多大关系。

原书上，跟着题目便有下面的一段：

“答曰二十三。”

“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。”

“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置一十五；一百六以上，以一百五减之，即得。”

后一小段可以说是这类问题的基本算法，而前一小段却是本问题的解答，用现在的式子照写出来便是：

70×2+21×3+15×2=140+63+30=233

233-105×2=233-210=23

照前面的说法，自然是士大夫气很重，也可以说是讲义体，一般人当然很难明白，但到了周密的书，便有诗歌形式的说明，那诗道：

“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇。

七度上元重相会，寒食清明便可知。”

这诗虽然容易记诵，但意义不很明白，而且说得也欠周到。到了程大位，它就改了面目：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆月正半，除百零五便得知。”

这诗流传得非常广，所以如卖盐老板之流也都知道，而我的哥哥所告诉我的秘诀就是它。

是的，知道了它，这类的题目便可以机械地算了，将三除所得的余数去乘七十，五除所得的余数去乘二十一，七除所得的余数去乘十五，再把这三项乘积相加，如所得的和比一百零五小，那便是所求的答数。不然，则减去一百零五的倍数而得出比一百零五小的数来——这里所要求的只是一个最小的答数——例如三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩三，那么，运算的程序便是：

70×1+21×4+15×3=70+84+45=199

199-105=94

若单只就实用或游戏说，熟记这秘诀已很够受用了，至于它是从哪儿来的，一般人哪管得这么多？但就数学的立场来说，这种知其然而不知其所以然的态度却没有多大的价值，并且即使熟记着这秘诀，所能应付的问题不过一百零五个，因为只限于三三，五五，七七三种数法。我们要默记这一百零五个答数并不是不可能，然而到得果真熟记着这一百零五个答数，那就更无意味了（见文末附注）。

所以我们第一要问，为什么这样就是对的？

要说明个中的理由，我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：

（一）某数的倍数的倍数，还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。

（二）某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一起，他们仍然是我的哥哥一般。

依了这两个定理来检讨上面的算法，设R3表示用三除所得的余数，R5和R7相应地表示用五除和用七除所得的余数，那么：

（一）七十是五和七的倍数，而是三的倍数多一，所以用R3去乘仍是五和七的倍数，而是三的倍数多R3。

（二）二十一是七和三的倍数，而是五的倍数多一，所以用R5去乘仍是七和三的倍数，而是五的倍数多R5。

（三）十五是三和五的倍数，而是七的倍数多一，所以用R7去乘仍是三和五的倍数，而是七的倍数多R7。

（四）所以这三项相加，就三说，是

70×R3+21×R5+15×R7=3的倍数+R3+3的倍数+3的倍数=3的倍数+R3。