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五（第1页）

（五）

前一种的证明法，自然比较地来得有根底，不像用数学归纳法那样地突然。但还有一点，不能使我们满意，不是吗？每个式子的分母都是1×2×3，就前面的证明中看来，明明只应当是2×3，为什么要写成1×2×3呢？这一点，若再用别一种方法来寻求这些公式，那就可以恍然了。

这一种方法可以叫它作差级数法。所谓拟形级数，不过是差级数法的特别情形。

怎样叫差级数？算术级数就是差级数中最简单的一种，例如1、3、5、7、9……这是一个算术级数，因为

3-1=5-3=7-5=9-7=……=2

但是，王老头子的汤团的堆法，从顶上一层起，顺次是1、4、9、16、25……各各两项的差是：

4-1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9……

这些差全不相等，所以不能算是算术级数，但是这些差，3、5、7、9……的每两项的差却都是2。

再如第二种三角锥的堆法，从顶上起，各层的个数依次是1、3、6、10、15，各各两项的差是，

3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5……

这些差也全不相等，所以不是算术级数，不过它和前一种一样，这些差数依次两个的差是相等的，都是1。

我们来另找个例子，如13、23、33、43、53、63……这些数实行乘出来便是1、8、27、64、125、216……而，

（Ⅰ）

8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……

（Ⅱ）

19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……

（Ⅲ）

18-12=6，24-18=6，30-24=6……

这是到第三次的差才相等的。

再来一个例子，如2、20、90、272、650、1332……

（Ⅰ）

20-2=18，90-20=70，272-90=182，650-272=378，

1332-650=682……

（Ⅱ）

70-18=52，182-70=112，378-182=196，682-378=304……

（Ⅲ）

112-52=60，196-112=84，304-196=108……

（Ⅳ）

84-60=24，108-84=24……