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五（第3页）

把（1）（2）（3）三个式子一比较，右边各项的数系数是1，1；1，2，1；1，3，3，1。这恰好相当于二项式a+b=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，各展开式中各项的系数。依了这个事实，照数学归纳法的步骤，我们无妨走进第二步，假定推到一般去，而得出：

照前面的样，把第n+1排作第一排，第n+2排作第二排，便可得：

将这两个式子相加，很巧地就得：

………………………………………………

这不是已将数学归纳法的三步走完了吗？可见得我们假定对于n的公式若是对的，那么，它于n+1也是对的。而事实上它对于1、2、3、4等都是对的，可见得它对于6、7、8……也是对的，所以推到一般都是对的。倘若你还记得我们讲组合——见《棕榄谜》——时所用的符号，那么就可将这公式写得更简明一点：

这个式子所表示的是什么，你可知道？它就是用差级数的第一项和各次差的第一项，表出这差级数的一般项。假如王老头子的那一盘汤团一共堆了十层，因为，这差级数的第一项u1是1，第一次差的第一项Δu1是3，第二次差的第一项Δ2u1是2，第三次以后的Δ3u1，Δ4u1都是0，所以第十层的汤团的个数便是：

这个得数谁也用不到怀疑，王老头子的那盘汤团的第十层，正是每边十个的正方形，一共恰好不折不扣的一百个。

我们要求的原是计算差级数和的公式，现在跑这野马干什么？

别着急！朋友！就来了！再弄一个小小儿的戏法，包管你心满意足。

我们在前面差级数三角形的顶上加一串数v1、v2、v3、…、vn、vn+1，不过并不是胡乱写些数，要它们每两项的差，就是u1、u2、u3、…、un。这样一来，它们便是n+1次差级数，而第一次的差为，

v2-v1=u1，v3-v2=u2，v4-v3=u3，…，vn-vn-1=un-1，vn+1-vn=un

若是我们惠而不费地将vn+1点缀得堂皇富丽些，无妨将它写成下面的样儿，

vn+1=vn+1-vn+vn-vn-1+…+v2-v1+v1

=（vn+1-vn）+（vn-vn-1）+…+（v2-v1）+v1

假使造这串数的时候，取巧一点，v1就用0，那么，便得：

vn+1=（vn+1-vn）+（vn-vn-1）+…+（v2-v1）

=un+un-1+…+u1

所以若用求一般项的公式来找vn+1得出来的便是u1+u2+u3+…+un的和。但就公式说，这个差级数中，v1=0，Δv1=u1，Δ2v1=Δu1，…，Δnv1=Δn-1u1，

这个戏法总算没有变差，由此我们就知道：

假如照用惯了的算术级数的样儿将a代第一项，d代差，并且不用组合所用的符号，那么n次差级数n项的和便是：

有了这公式，我们就回头去处分王老头子的那一盘汤团，它是一个二次差级数，对于这公式说：a=1，d1=3，d2=2，d3=d4=…=0

在第二种三角锥的堆法，前面也已说过，仍是一个二次差级数，对于这公式，a=1，d1=2，d2=1，d3=d4=…=0。

至于第三种堆法，它各层的个数，及各次的差是，

p，2（p+1），3（p+2），4（p+3），……

p+2，p+4，p+6，……

2，2，………………

也是一个二次差级数，u1=p，d1=p+2，d2=2，d3=d4=…=0

末了，再把这个公式运用到第四种堆法。它的每层的个数以及各次的差是这样的：

所以也是一个二次差级数，就公式说，u1=ab，Δu1=（a+b）+1，Δu2=2，Δu3=Δu4=…=0

用差级数的一般的求和的公式，将我们开首就提出的四个公式都证明了。这种证明真可以当得起无疵可指，就是连最后分母中那事实上无关痛痒的1×2×3中的1也给了它一个来去分明。这种证法，不但有这一点点子好处，由上面的经过看来，我们所提出的四个公式，全都是这差级数求和的公式的运用。因此只要我们已彻底地了解了它，这四个公式就不值一顾了，数学的理论的发展，永远是霸道横行，后来居上的。