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十九韩信点兵（第3页）

“不！”王有道说，“例如25是6的4倍多1，35是6的6倍少1，都不是质数。”

“这就对了！”马先生说，“所以你刚才用不是2和3的倍数来判定一个数是质数，是不精密的。”

“马先生！”我的疑问始终不能解释，趁他没有说下去，我便问：“由作图的方法，怎样可以判定一个数是不是质数呢？”

“这是应当有的问题，刚才，画的线都是表示质数的倍数的，你们会想到，这不能用来判定质数。但是若果从画图的过程看，就可明白了。首先画的是表示2的倍数的线OA，由它，你们可以看出哪些数不是质数？”

“4、6、8……一切偶数。”我答道。

“接着画表示3的倍数的线OB呢？”

“6、9、12……”一个同学说。

“4既不是质数，上面一个是5，第三就画表示5的倍数的线OC。”这一来又得出它的倍数10、15等等。再依次上去，6已是合数，所以只好画表示7的倍数的线OD。接着，8、9、10都是合数，只好画表示11的倍数的线OE。照这样做下去，把合数渐渐地淘汰了去，所画的线所表示的不是全都是质数的倍数吗？——这个图，我们无妨叫它质数图。”

“我还是不明白，用这张质数图怎样判定一个数是否是质数。”我跟着发问。

“这真叫作百尺竿头，只差一步了！”马先生很诚恳地说，“你试举一个合数与一个质数出来。”

“15与37。”

“从15横看过去，有些什么数的倍数？”

“3的和5的。”

“从37横着看过去呢？”

“没有！”我已懂得了。在质数图上，由一个数横看过去，若有别的数的倍数，它自然是合数；一个也没有的时候，它就是质数。不只这样，例如15，还可知道它的质因数是3和5。最简单的，6含的质因数是2和3。马先生还说，用这个质数图来把一个合数分成质因数，也是容易的。这法则是如此：

例一：将35分成质因数的积。

由35横看到D得它的质因数有一个是7，往下看是5，它已是质数，所以

35=7×5

本来，若是这图的右边没有截去，7和5都可由图上直接看出来的。

例二：将12分成质因数的积。

由12横看得Q，表示3的4倍。4还是合数，由4横看得R，表示2的2倍，2已是质数，所以

12=3×2×2=3×22

关于质数图的作法，以及用它来判定一个数是否是质数，用它来将一个合数析成质因数的积，我们都已明白了。马先生提出求最大公因数的问题。前面所说过的既已明了，这自然是迎刃而解的了。

例三：求12、18和24的最大公因数。

从质数图上，——如图77——我们可以看出24、18和12都有因数2、3和6。它们都是24、18、12的公因数，而6就是所求的最大公因数。

“假如不用质数图，怎样由画图法找这最大公因数？”马先生问王有道。他一面思索，一面用手指在桌上画来画去，后来他这样回答：

“把最小一个数以下的质数找出来，再画出表示这些质数的倍数的线。由这些线上，就可看出各数所含的公共质因数。它们的乘积，就是所求的最大公因数。”

例四：求6、10和15的最小公倍数。

依照前面各题的解法，本题是再容易没有了。OA，OB，OC相应地各表示6、10和15的倍数。A，B和C同在30的一条横线上，30便是所求的最小公倍数。

例五：某数，三个三个地数，剩一个；五个五个地数，剩两个；七个七个地数，也剩一个，求某数。

马先生写好了这个题，叫我们讨论画图的方法。自然，这不是很难的，经过一番讨论，我们就得出图79来。1A，2B，1C各线分别表出3的倍数多1，5的倍数多2，7的倍数多1来。而这三条线都经过22的线上，22即是所求的。——马先生说，这是最小的一个，加上3、5、7的公倍数，都合题。——不是吗？22正是3的7倍多1，5的4倍多2，7的3倍多1。

“你们由画图的方法，总算把解答求出来了，但是怎样算法呢？”马先生这一问，却把我们难住了。最先有的人说是求它们的最小公倍数，这当然不对，3、5、7的最小公倍数是105呀！后来又有人说，从它们的最小公倍数中减去3除所余1，也有人说减去5除所余的2，自然都不是。从图上仔细去看，也毫无结果。最终只好去求教马先生了。他见大家都束手无策，便开口道：