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五追赶上前的话（第3页）

例八：甲每小时行三里1，先动身，乙追四小时半6，共走二十二里半4追上，求甲先走的时间。

22。5里÷3-4。5=7。5-4。5=3小时——甲先走三小时

例九：甲每小时行三里1，先动身，乙从后面追他，每小时行五里5，四小时半6追上，甲共走了几小时？

5里×4。5÷3里=22。5里÷3里=7。5小时——甲共走七小时半

例十：甲先走三小时2，乙从后面追他，在距出发地二十二里半4的地方追上，而甲共走了七小时半3，求乙的速度。

22。5里÷（7。5-3）=22。5里÷4。5=5里——乙每小时所行的里数

例十一：甲先走三小时2，乙从后面追他，每小时行五里5，到甲共走七小时半3时追上，求甲的速度。

5里×（7。5-3）÷7。5=22。5里÷7。5=3里——甲每小时所行的里数

例十二：乙每小时行五里5，在甲走了三小时的时候2动身追甲，乙共走二十二里半4追上，求甲的速度。

22。5里÷（22。5里÷5里+3）=22。5里÷7。5=3里——甲每小时所行的里数

例十三：甲先动身三小时2，乙用四小时半6，走二十二里半路4，追上甲，求甲的速度。

22。5里÷（3+4。5）=22。5里÷7。5=3里——甲每小时所行的里数

例十四：甲先动身三小时2，乙每小时行五里5，从后面追他，走四小时半6追上，求甲的速度。

5里×4。5÷（3+4。5）=22。5里÷7。5=3里——甲每小时所行的里数

例十五：甲七小时半3走二十二里半4，乙每小时行五里5，在甲动身后若干小时后动身，正追上甲，求甲先走的时间。

7。5-22。5里÷5=7。5-4。5=3小时——甲先走三小时

例十六：甲动身后若干时，乙动身追甲，甲共走七小时半3，乙共走四小时半6，所走的距离为二十二里半4，求各人的速度。

22。5里÷7。5=3里——甲每小时所行的

22。5里÷4。5=5里——乙每小时所行的

例十七：乙每小时行五里5，在甲动身若干时后追他，到追上时，甲共走了七小时半3，乙只走四小时半6，求甲的速度。

5里×4。5÷7。5=22。5里÷7。5=3里——甲每小时所行的

十七个题中，第十六题只是应有的文章，严格地说，已不成一个题了。将这些题对了图看，并且比较它们的算法，可以知道：将一个题中的已知元素和所求的元素对调而组成一个新题，这两题的计算法的更改，正有一定法则。大体说来，总是这样，新题的算法，对于被调的元素说，正是原题算法的还原，加减互变，乘除也互变。

前面每一题都只求一个元素，若将各未知的三元素作一题，实际就成了四十八个。还有，甲每时行三里，先走三小时，就是先走九里，这也可用来代替第二元素，而和其他的二元素组成若干题。这样的推究，多么活泼有趣！而且对于研究学问实在是一种很好的训练。

本来，无论什么题，都可以下这么一番探究功夫的，但前几次的例子比较简单，变化也就少一些，所以不曾说到。而举一反三，正好是一个练习的机会，所以，以后也不再这么不怕麻烦地讲了。

把题目这样地推究，学了一个题的计算法，便可悟到许多关系相同形式各别的题的算法，实不只“举一反三”，简直要“闻一以知十”；使我觉得无穷的快乐，我现在才感到算学不是枯燥的。

马先生费许多精神，教给我们探索题目的方法，时间已去了不少，但他还不感到吃力地继续讲下去。

例十八：甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，甲每小时行二里，乙每小时行一里半，两人几时在途中相遇？

这题差不多算得是我们各人自己做出来的。马先生只告诉了我们，应当注意两点：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲从C向D，乙就从A向B，AC相隔十四里；第二，因为题上所给的数都不很大，图上的单位应取得大一些——都用二小段当一——图才好看，做算学也须顾着好看！

由E点横看去得四，自然就是四小时两人在途中相遇了。

“趣味横生”，横了看去，甲、乙两人，每走一小时近了三里半，就是甲乙速度的和，所以算法也就得出来了：

14里÷（2里+1。5里）=14里÷3。5里=4小时——所求的小时数。

这算法，没有一个人不对，算学真是人人能领受的呵！

马先生很高兴地提出下面的各问题，要我们回答算法，当然，这更不是什么难事！

1。两人相遇的地方，距东西[13]各几里？

2里×4=8里——距东的，

1。5里×4=6里——距西的。

2。甲到了西地，乙还距东地几里？

14里-1。5里×（14÷2）=14里-10。5里=3。5里——乙距东的。

下面的推究，是我和王有道、周学敏依照马先生的前例做的。