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六导数的几何表示法（第3页）

对于切线的问题。我们算是有了一个一般的解答了。但是，我问你，一直说到现在，我们所解决的都是些特别的例子，它能不能就用到一般的已定曲线上去呢？

还不能呢，还得要用数学的方法，再进一步找出它的一般的原理才行的。不过要达到这地步，也不是很困难的事。我们仔细再从我们所用的方法当中去探究一番，那就可以得到一个合意的回答了。

我们所用的方法，它含有什么性质呢？

假如我们记清楚从前所说过的什么连续函数咧，它的什么变化咧，这些变化的什么平均值咧，这一类的东西，将它们来比照一下，对于我们所用的方法，一定更加明了了。

一条曲线和一个函数，本可以看成是一般无二的东西，因为一个函数可以表示出它的性质，而它也可以把这个函数用图形表示。所以，一样的情形，一条曲线也就表示一个点的运动的情况。

为了要知道清楚运动的性质，我们曾经研究过用来表示这运动的函数有怎样的变化。研究的结果，将导数的意义也弄明白了。我们知道它在一般的形式下面，也是一个函数，函数一般的性质和变化它都含得有。

认为函数是表示一种运动的时候，它的导数，就是表示每一刹那间，这运动所有的速度。

丢开了运动不讲，在一般的情形当中，一个函数的导数，它含得有什么意义没有呢？

我们再简单地来看一看，导数是怎样被我们诱导出来的。我们先对于变数，使它任意加大一点，然后从这点出发去计算所要求的导数。就是找出相应于这点变化，那函数增加了多少，接着就求这两个增加的数的比。

因为函数的增加是依赖着变数的增加的，我们所以跟着就留意，在那增加的量很小很小的时候，它的变化是怎样的情形。

这样的做法，我们已说过好些次，而结果仍旧是一样的。那增加的量无限小的时候，这个比就达到一个有定的值。中间有个必要的条件，我们不要忘掉，就是这个比若有极限的时候，那个函数是连续的。

将这些情形和所讲过的计算一条曲线的切线的斜率的方法比较一下，我们不是很容易明白，它们实在没有什么分别吗？

末了，就得出这么一个结论：一个函数表示一条曲线，函数的每一个值都相应于那曲线上的一点，对于函数的每一个值的导数，就是那曲线上相应点的切线的斜率。

这样说来，切线的斜率便有一个一般的求法了。这个结果不但对于本问题很重要，它简直是微积分的台柱子。

这不但解释了切线的斜率的求法，而且反过来，也就得了导数在数学函数上的抽象的意义。正和我们为了要研究函数的变化，却得到了无限小和它的计算法，以及导数的意义一般。

再结束一下，导数这个宝贝，真是玲珑得可以。你讲运动吧，它就表示这运动的速度；你讲几何吧，它又变成曲线上一点的切线的斜率。你看它多么活泼有趣！

索性再来看它还有些什么把戏可以玩出来。

导数表示运动的速度，所以它就指给我们看那运动有些什么变化。

在图形上，它既表示切线的斜率，又有什么可以指示给我们看的没有呢？

设想有一条曲线，对了，曲线本是一条弯来弯去的线，它在什么地方有怎样的弯法，我们有没有法子可以表明呢？

从图上看吧，在a点附近曲线弯得快些。换句话说，x的距离加得很小，而相应的y的距离却加得较大，这就证明在a点的切线，它的倾斜度来得更陡。

在b点呢，切线的倾斜度就较平了，切线和水平线所成的角也很小，x和y的距离加增的强弱相差也不十分厉害。

至于c点，倾斜度简直成了零，切线和水平线全然平行，x的距离尽管增加，y的却总是老样子，所以这一小段曲线也很平。接着下去，它反而向下弯起来，就是说，x的距离增加，y的反而减小。在这里，倾斜度就改变方向，一直降到d才又回头。从c到d这一段，因为倾斜度掉了方向的缘故，我们就说它是“负的”。

最后，在e点倾斜度成了直角，就是切线变了水平线的垂直线，这小段曲线成了非常地陡，x若只无限小地增加一点的时候，y的值还是一样。

这个例子叫我们知道，对于导数的研究，它有多大，它是正或负，都可以指示出曲线的变化来。这正和用它表示速度时，可以看出运动的变化一般的情形。

你看！导数这么一点小家伙，它的花头有多少！

[7]唯一无二：今作“独一无二”。