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十四集合论（第2页）

就用E代表它。

凡是用E当中的元素所做成的集合，无论它所含的元素的数有限或无限，都称它们为E的“子集”，所以：

17、25、31

2、5、8、11、…、2+3（n-1）……

1、4、9、16、…、n2……

这些都是E的子集，我们用Pn来代表它们。

第一步，凡是用E的元素所能够做成的子集，我们都将它们做尽。

第二步，我们就来做一个新的集合C，C的每一个元素原都是E的一个子集Pn，而且所有E的子集全都包含在里面。这样一来，C便成了E的一切子集的集合。

你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。我们要证明C的次数就比第一个集合E的高。为了这样，我们还重复说一次比较两个集合的法则，你务必也要将它记好。

我们必须要对于E的每一个元素都能从C的当中取一个出来和它成对。实际上只要依下面的方法配合就够了：

从这样的配合法，因为第二行实在只用到C元素的一部分，这是很容易知道明白的C的次数或是比E的高或是和E的相等。

我们能不能够转过头来，对于C当中的每一个元素都从E当中取出一个和它成对呢？

假如能够做得到，那么E和C的次数是相等的。

假如不能够，那么C的次数就高于E的。

我们无妨就假定能够做得到，看会碰钉子不会！

算这种配合法是可以有的，我们就随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：

P1、P2、P3、…、Pn……（C）

1、2、3、…、n……（E）

单就这两行看，第一行是所有的子集，就是所有C的元素，都来了（因为我们是要这样做的）；第二行我们却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。因为我们是对了第一行的元素取出来的，究竟取完了没有还说不定。

这回，我们来一对一地检查一下看，先从P1和它的对儿1来起。因为P1是E的子集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就可以有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。假如P1里面没有1的，我们将它放在一边。跟了来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。照这样子一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。

这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成功一个整数的集合。朋友！这点你却要注意，一点马虎不得了！我们检查的时候，有些整数因为它的对儿里面已有了，它所以没有放出来。由此可以见得我们新做成的整数集合不过包含整数的一部分，所以它也是E的子集。但是我们前面说过，C的元素是E的子集，而且所有E的子集全部包含在C的里面了，所以这个新的子集也应当是C的一个元素。用Pt来代表这个新的集合，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的元素都排在那儿的。

既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个元素来和它成对。

假定和Pt成对的整数是t。

朋友！糟了！这就碰钉子了！你若还要硬撑场面，那么再做下去。

在这里我们又有两种可能的情况：

第一种：t是Pt的一部分，但是这却真碰钉子了。Pt所包含的元素是在第一行中成对儿的元素所不包含在里面的整数，而Pt自己就是第一行的一个元素，这不是矛盾了吗？所以t不应当是Pt的一部分，这就到了下面的情况。

第二种：t不是Pt的一部分，这可能把钉子避开吗？不行，不行，还是不行。Pt自己是第一行的一个元素，t和它相对又不包含在它的里面，我们检查的时候，就把它放在一边了。朋友，你看，这够多么糟。t既被我们检查的时候放在一边，而Pt就是这些被放在一边的整数的集合，结果t就应当是Pt的一部分。

这够多么糟！照第一种说法，t是Pt的一部分，不行；照第二种说法t不是Pt的一部分也不行。说去说来都不行，只好回头了。在E的元素当中，就没有和C的元素Pt成对的。朋友，你还得注意，我们将两行的元素配对，原来是随意的，所以要是不承认E的元素里面没有和Pt配对的，这种钉子，无论我们怎样都得碰。

第一次将E和C比较已知道C的次数必是高于E的或等于E的；现在比较下来，E的次数不能和C的相等，所以我们说C的次数高于E的。

归到最后的结果，就是我们前面所说的定理已证明了，有一个无限集合，我们就可做出次数高于它的无限集合来。

无限集合的理论，也有一个无限的广场展开在它的面前！

我们常常都能够比较这一个和那一个无限集合的次数吗？

我们能够将无限集合照它们次数的顺序排列吗？

所有这一类的难题目以及其他关于“无限”的问题，都还没有在这个理论当中占有地盘。不过这个理论既已经具有相当基础，逐渐往前进展，这些问题总有解决的一天，毕竟我们现在对于“无限”已用不到和从前一般地只是感到惊奇不可思议了！

老实说，数学家们无论对于做这个理论的基础的一些假定，或是对于从里面寻出来的一些悖论的解释都还没有全部的理解。

然而，这我们一点儿用不到吃惊，一种新的理论的产出正和一个婴儿的诞生一样，要他长大做一番惊人的事业，养育和保护都少不来的！

[16]年青：今作“年轻”。

[17]译演：今作“演绎”。

[18]袁头：20世纪一二十年代北洋政府发行的货币。

[19]丘八：旧社会对兵痞的贬称。