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六堆罗汉（第2页）

所以它的面积应当是（1+2+3+4）的平方，因此我们就证明了下面的式子：

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

但这式子右边括弧里的数，照第一个例子应当等于：

因此：

推到一般的情形去：

上面的三个例子，我们都只是凭了几个很小的数目的观察，便推到一般去，而得出一个含有n的公式，n是代表任何整数。这个推证究竟可靠不可靠呢？换句话说，就是我们的推证有没有别的根据呢？就实际的情形说，我们所已得出的三个公式都是对的，但它的对不对是一个问题，我们的推证法可靠不可靠又是一个问题。

我来另举一个例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方是14641。从这几个数，我们可以看出三个法则：第一，这些数排列起来，对于中点说，都是对称的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒数第二位都等于乘方的次数。依这个观察的结果，我们可不可以说11的n次方便是1n…n1呢？要下这个判断，我们无妨再举出一个次数比4还高的乘方来看，最简便的自然就是5。11的5乘方，照实际计算的结果是161051。上面的三个条件，只有第二个还存在，若再乘到8次方，结果是214358881，就连第二个条件也不存在了。

由这个例子，可以看出来，单只就几个很小的数的变化观察得的结果，便推到一般去，不一定可靠。在这个理由的下面，我们就不得不怀疑到我们前面所得出的三个公式。倘使没有别的方法去证明，在那三个例子中是有特殊的情形可以用那样的推证法，那么，我们宁愿去找另外的一条路来解决。

是的，前面所已得出的三个公式很可以怀疑，但我们也并非毫无根据。第一个式子最少到了7是对的，第二、第三个式子最少到了4也是对的。我们若不惮烦地顺着再试验上去，可以看出来，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是对的。但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能够就保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。

我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”它的形式是对的，再来加以检查，为着便利，容我在此重写一次：

在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然单只就式子的“形式”去考查，但这种考查我们用不到怀疑。在某一意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。

所谓n变到n+1，就无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：

（一）

（二）

（三）

从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式全然相同。因此，我们得出一个极重要的结论：

“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”

事实上，我们已经观察出来，这三个式子至少对于4都是对的。运用这个结论，我们无须再试验，也就有理由可以断定它们对于5都是对的。既然对于5对了，那么同一理由，对于6也是对的，再推下去就对于7、8、9……都是对的。

到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。

这种证明法，我们叫它是数学归纳法。

数学上所常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。关于堆罗汉这类数列的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。本来：

S=1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n

若将这式子右边各项的顺序掉过，就得

S=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1

再将两式相加，我们便得出下式：

2S=（1+n）+[2+（n-1）]+[3+（n-2）]+…+[（n-2）+3]+[（n-1）+2]+（n+1）

=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）+（n+1）

=n（n+1）

两边再用2去除，于是：

这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点用不到怀疑，不过我们所用的方法究竟可靠不可靠也得注意。

一般地说来，演绎法总比较不大稳当，为的是它的基础是建筑在一些更普遍的法则上面，倘使这些被它所凭借的更普遍的法则当中，有几个或一个根本就不大稳固，那不是将有全盘动摇的危险吗？比如这个证明，第一步，将式子右边各项的顺序掉过，这是根据一个更普遍的法则叫作什么“交换定则”的。然而交换定则在一般情形固然可以运用无误，但在特殊的情形时，并非毫无问题。所以假如我们肯追根究底的话，这个证明法，可以适用交换定则，也得另有根据。至于证明的第二、第三步，都是依据了数学上的公理，公理虽则没有什么证明做保障，但不容许怀疑，这可不必管它。

归纳法既比演绎法来得可靠，我们无妨再来探究一下。前面我们所用过的步骤，归纳起来有四个：

（一）就少数的数目来观察出一个共通的形式；

（二）将这形式推到一般去，“假定”它是对的；

（三）校勘这假定的形式，是否再能往前推去；

（四）如果校勘的结果是肯定的，那么我们的假定就可认为合于事实了。

前面我们曾经说过：