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八二阶导数加速度高阶导数（第2页）

假如一个点始终是静止着的，那么它的速度便是零，于是导数也就等于零。

反过来，假如导数，或是说速度，它等于零，我们就可以断定那个点是静止的。

跟着这个推论，比如已经知道了一种运动的法则，我们想要找出这运动着的点归到静止的时间，我们只要找出什么时候，它的导数等于零，那就成了。

随便举个例子来说，假设有一个点，它的运动法则是：

d=t2-5t

由以前讲过的例子，t2的导数是2t，而5t的导数是5，所以：

d'=2t-5[10]

就是这个点的速度，在每一刹那t间是2t-5，若要问这个点什么时候得到静止，只要找出什么时候它的速度等于零就行了。但是，它的速度就是这运动的导数d'。所以若d'等于零时，这个点就是静止的。我们再来看d'怎样才等于零。它既等于2t-5，那么2t-5若等于零，d'也就等于零。因此我们可以进一步来看2t-5等于零需要什么条件。我们试解下面的简单方程式：

2t-5=0

解这个方程式的法则，我相信你没有忘掉，所以我只简洁地回答你，这方程式的根是2。5。假如t是用秒做单位的，那么，便是两秒半钟的时候，d'等于零，就是那个点，在开始运动后两秒半钟归于静止。

现在，我们另外讨论别的问题，假如那点的运动是匀速的，那么，导数或是说速度，它是一个常数。因此，它的加速度，或是说它的速度的变化，便等于零，也就是二阶导数等于零。一般的情况，一个常数的导数总是等于零的。

又可以掉过话头来说，假如有一种运动法则，它的二阶导数是零，那么它的加速度自然也是零。这就是表明它的速度老是一个样子没有什么变化。从这一点，我们可以知道，一个函数，若它的导数是零，它便是一个常数。

再继续着推上去，若是加速度或二阶导数，不是一个常数，我们又可以看它有什么变化了。要知道它的变化，我们不必用别的法子，还是找它的导数。这一来，我们却得的是三阶导数。在一般的情形当中，这三阶导数也不一定就等于零的。假如，它还不是一个常数，它就可以有导数，这便成第四次的了。照这样可以尽管推下去，我们不过连续地重复用那导数法罢了。无论第几次的导数，都是表示它前一次的函数的变化。

从这样看，关于函数变化的研究是可以穷追下去没有底的。导数不但可以二阶、三阶的，简直可以有无限阶的。这全看那些数的气量怎样，只要它不是被我们追过几次便板起脸孔，死气沉沉地成了一个常数，我们就可以追过不憩。

[8]旧制一斤合十六两，半斤即为八两。

[9]现在：指作者所处的20世纪三四十年代。

[10]（作者原注）这个式子也可以直接计算出来：

∵d=t2-2t

d+?d=（t+?t）2-2（t+?t）

∴?d=（t+?t）2-2（t+?t）-d

=（t+?t）2-2（t+?t）-（t2-2t）

=（t2+2t?t+?t2）-2t-2?t-（t2-2t）

=2t?t-2?t+?t2