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五追赶上前的话（第2页）

图19

对于这个题，表示甲走的行程和时间的线，自然谁都会画了。就是表示乙走的行程和时间的线，经过了马先生的指示，以及共同的讨论，知道：因为乙是在甲动身后三小时才动身，而得C点。又因为乙追了四小时半赶上甲，这时甲正走到E，而得E点，连结CE，就得所求的线。再看每过一小时，横线对应增加5，所以知道乙每小时行五里。这真是马先生说的趣味横生了。

不但如此，图上明明白白地指示出来：甲七小时半走的路程是二十二里半，乙四小时半走的也正是这么多，所以很容易使我们想出这题的算法。

3里×（3＋4。5）÷4。5＝22。5里÷4。5＝5里——乙每小时走的

但是马先生的主要目的不在讨论这题的算法上，当我们得到了答案和算法后，他又写出下面的例题。

例三：甲每小时行三里，动身后三小时，乙去追他，追到二十二里半的地方追上，求乙的速度。

跟着例二来解这个问题，真是十分轻松，不必费心思索，就知道应当这样算：

22。5里÷（7。5－3）＝22。5里÷4。5＝5里——乙每小时走的

原来，图是大家都懂得画了，而且一连这三个例题的图，简直就是一个，只是画的方法或说明不同。甲走了七小时半而比乙多走三小时，乙走了四小时半，而路程是二十二里半，上面的计算法，由图上看来，真是“了如指掌”呵！我今天才深深地感到对算学有这么浓厚的兴趣！

马先生在大家算完这题以后发表他的议论：“由这三个例子来看，一个图可以表示几个不同的题，只是着眼点和说明不同。这不是活鲜鲜的，很有趣味吗？原来例二、例三都是从例一转化来的，虽然面孔不同，根源的关系却没有两样。这类问题的骨干只是距离、时间、速度的关系，你们当然已经明白：速度×时间＝距离。由此演化出来，便得：速度＝距离÷时间，时间＝距离÷速度。”

我们说：“赵阿毛的儿子是赵小毛，老婆是赵大嫂子。赵大嫂子的老公是赵阿毛，儿子是赵小毛。赵小毛的妈妈是赵大嫂子，爸爸是赵阿毛。”

这三句话，表面上看起来自然不一样，立足点也不同，从文学上说，所给我们的意味、语感也不同，但表出的根本关系只有一个，画个图便是：

照这种情形，将例一先分析一下，我们可以得出下面各元素以及元素间的关系：

1。甲每小时行三里。

2。甲先走三小时。

3。甲共走七小时半。

4。甲、乙都共走二十二里半。

5。乙每小时行五里。

6。乙共走四小时半。

7。甲每小时所行的里数（速度）乘以所走的时间，得甲走的距离。

8。乙每小时所行的里数（速度）乘以所走的时间，得乙走的距离。

9。甲、乙所走的总距离相等。

10。甲、乙每小时所行的里数相差二。

11。甲、乙所走的小时数相差三。

1到6是这题所含的六个元素。一般地说，只要知道其中三个，便可将其余的三个求出来。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6当然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。

不过也有例外，如1、3、4，因为4可以由1、3得出来，所以不能成为一个题。2、3、6只有时间，而且由2、3就可得6，也不能成题。再看4、5、6，由4、5可得6，一样不能成题。

从六个元素中取出三个来做题目，照理可成二十个。除了上面所说的不能成题的三个，以及前面已举出的三个，还有十四个。这十四个的算法，当然很容易推知，画出图来和前三个例子完全一样。为了便于比较、研究，逐一写在后面。

例四：甲每小时行三里1，走了三小时乙才动身2，他共走了七小时半3被乙赶上，求乙的速度。

3里×7。5÷（7。5－3）＝5里——乙每小时所行的里数

例五：甲每小时行三里1，先动身，乙每小时行五里5，从后追他，只知甲共走了七小时半3，被乙追上，求甲先动身几小时？

7。5－3里×7。5÷5里＝3小时——甲先动身三小时

例六：甲每小时行三里1，先动身，乙从后面追他，四小时半6追上，而甲共走了七小时半3，求乙的速度。

3里×7。5÷4。5＝5里——乙每小时所行的里数

例七：甲每小时行三里1，先动身，乙每小时行五里5，从后面追他，走了二十二里半4追上，求甲先走的时间。

22。5里÷3里－22。5里÷5里＝7。5－4。5＝3小时——甲先走三小时

例八：甲每小时行三里1，先动身，乙追四小时半6，共走二十二里半4追上，求甲先走的时间。

22。5里÷3－4。5＝7。5－4。5＝3小时——甲先走三小时