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十九韩信点兵（第3页）

“从37横着看过去呢？”

“没有！”我已懂得了。在质数图上，由一个数横看过去，若有别的数的倍数，它自然是合数；一个也没有的时候，它就是质数。不只这样，例如15，还可知道它的质因数是3和5。最简单的，6含的质因数是2和3。马先生还说，用这个质数图把一个合数分成质因数，也是容易的。这法则是这样：

例一：将35分成质因数的积。

由35横看到D得它的质因数，有一个是7，往下看是5，它已是质数，所以

35＝7×5

本来，若是这图的右边没有截去，7和5都可由图上直接看岀来的。

例二：将12分成质因数的积。

由12横看得Q，表示3的4倍。4还是合数，由4横看得R，表示2的2倍，2已是质数，所以

12＝3×2×2＝3×22

关于质数图的作法，以及用它来判定一个数是否是质数，用它来将一个合数拆成质因数的积，我们都已明白了。马先生提出求最大公约数的问题。前面说过的既然已明了，这自然是迎刃而解的了。

例三：求12、18和24的最大公约数。

图77

从质数图上，如图77，我们可以看出24、18和12都有约数2、3和6。它们都是24、18、12的公约数，而6就是所求的最大公约数。

“假如不用质数图，怎样由画图法找出这三个数的最大公约数呢？”马先生问王有道。他一边思索，一边用手指在桌上画来画去，后来他这样回答：“把最小一个数以下的质数找出来，再画出表示这些质数的倍数的线。由这些线上，就可看出各数所含的公共质因数。它们的乘积，就是所求的最大公约数。”

例四：求6、10和15的最小公倍数。

依照前面各题的解法，本题是再容易不过了。OA、OB、OC相应地表示6、10、15的倍数。A、B和C同在30的一条横线上，30便是所求的最小公倍数。

图78

例五：某数，三个三个地数，剩一个；五个五个地数，剩两个；七个七个地数，也剩一个，求某数。

马先生写好了这个题，叫我们讨论画图的方法。自然，这不是很难，经过一番讨论，我们就画出图79来。1A、2B、1C各线分别表示3的倍数多1，5的倍数多2，7的倍数多1。而这三条线都经过22的线上，22即是所求的。——马先生说，这是最小的一个，加上3、5、7的公倍数，都合题。——不是吗？22正是3的7倍多1，5的4倍多2，7的3倍多1。

图79

“你们由画图的方法，总算把答案求出来了，但是算法是什么呢？”马先生这一问，却把我们难住了。先是有人说是求它们的最小公倍数，这当然不对，3、5、7的最小公倍数是105呀！后来又有人说，从它们的最小公倍数中减去3，除所余的1。也有人说减去5，除所余的2，自然都不是。从图上仔细看去，也毫无结果。最终只好去求教马先生了。他见大家都束手无策，便开口道：“这本来是咱们中国的一个老题目，它还有一个别致的名称——韩信点兵。它的算法，有诗一首：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。你们懂得这诗的意思吗？”

“不懂！不懂！”许多人都说。

于是马先生加以解释：“这也和‘无边落木萧萧下’的谜一样。三人同行七十稀，是说3除所得的余数用70去乘它。五树梅花廿一枝，是说5除所得的余数，用21去乘。七子团圆月正半，是说7除所得的余数用15去乘。除百零五便得知，是说把上面所得的三个数相加，加得的和若大于105，便把105的倍数减去。因此得出来的，就是最小的一个数。好！你们依照这个方法将本题计算一下。”

下面就是计算的式子：

奇怪！对是对了，但为什么呢？周学敏还找了一个题“三三数剩二，五五剩三，七七数剩四”来试：

53正是3的17倍多2，5的10倍多3，7的7倍多4。真奇怪！但是为什么？对于这个疑问，马先生说，把上面的式子改成下面的形式就明白了。

“这三个式子，可以说是同一个数的三种解释：（1）表明它是3的倍数多2；（2）表明它是5的倍数多3；（3）表明它是7的倍数多4。这不是正和题目所给的条件相合吗？”马先生说完了，王有道似乎已经懂得，但又有点儿怀疑的样子。他踌躇了一阵，向马先生提出这么一个问题：“用70去乘3除所得的余数，是因为70是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。用21去乘5除所得的余数，是因为21是3和7的公倍数，又是5的倍数多1。用15去乘7除所得的余数，是因为15是5和3的公倍数，又是7的倍数多1。这些我都明白了。但，这70，21和15怎么找出来的呢？”

“这个问题，提得很合适！”马先生说，“这类题的要点，就在这里。但，这些数的求法，说来话长，你们可以去看开明书店出版的《数学趣味》，里面就有一篇专讲《韩信点兵》的。——不过，像本题，三个除数都很简单，70、21、15都容易推出来。5和7的最小公倍数是什么？”

“35。”一个同学回答。

“3除35，剩多少？”

“2——”另一个同学说道。

“注意！我们所要的是5和7的公倍数，同时又是3的倍数多1的一个数。35当然不是，将2去乘它，得70，既是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。至于21和15，情形也相同。不过21已是3和7的公倍数，又是5的倍数多1；15已是5和3的公倍数，又是7的倍数多1，所以用不到再把什么数都去乘它了。”

最后，他还补充一句：“我提出这个题的原意，是要你们知道，它的形式虽和求最小公倍数的题相同，实质上却是两回事，必须要加以注意。”