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十一假如我们有十二根手指（第2页）

202…二十

210…二十一

211…二十二

212…二十三

220…二十四

221…二十五

222…二十六

由三而四，用四进法，四位数，我们可记的数，便有二百五十五个，数的世界便比较繁荣了。但事实上，我们并不曾找到过用二进法、三进法或四进法记数的事例。这个理由自然容易说明，数是抽象的，实际运用的时候，需要具体的东西来表出，然而无论“近取诸身，远取诸物”，不多不少恰好可以表示，而且易于取用的东西实在没有。我们对于数的辨认从附属在自家身上的东西开始，当然更是轻而易举。于是，我们首先就会注意到手。一只手有五根指头，五进法便应运而生了。就是在所谓二十世纪的现在，我们从“野蛮人”中——其实世上本无所谓野蛮，只是他们的生活不需要如我们所有的文化罢了——还可以见到五进记数法的事实。本来五进记数法，用到五位，已可记出三千一百二十四个数，不用说生活简单的“野蛮人”也已够用。就是在我们日常生活中，三千以上的数也不大能用到，不是吗？一块洋钱兑三百一十二个铜元，也不过是三千一百二十个小钱，而用大单位将数记小，这点聪明，我们还是有的。你闭着眼睛想一想，你在日常生活中所用得到的数，有多少是千以上的？

既然知道用一只手的五根指头表数，因而产生五进记数法，进一步产生十进记数法，这对于我们的老祖宗们来说，大概不会碰到什么艰难困苦的。两只手是上帝造人的时候就安排好的呀！

既然可以用十根手指头表示数，因而产生十进法，两只脚也有十根趾头，为什么不会一股脑儿用进去产生二十进法呢？

二十进法是有的，现在在热带生活的人们，就有这种办法，这种办法只存在于热带，很显然是因为那里的人赤着脚的缘故。像我们终年穿着袜子的人，使用脚趾头自然不便当了。这就是十进记数法能够征服我们的缘故。倘若我们能够像近年来暑天中的“摩登狗儿”一样赤着脚走，我敢预言若干年后一定会来一次记数革命。

二十进法，不但在现在热带地区可以找到，从各国的数字中也可以得到很好的证明。如法国人，二十叫vingt；八十叫quatre-vingts，便是四个二十；而九十叫quatre-vingt-dix，便是四个二十加十，这都是现在通用的。至于古代，还有six-vingts，六个二十叫一百二十；quis，十五个二十叫三百。这些都是二十进法的遗迹。又如意大利的数字，二十叫venti，这和三十trenta、四十quaranta、五十ta也有着显然的区别：第一，三十、四十、五十等都是从三tre、四quattro、五que等来的，而二十却与二due无关系；第二，三十、四十、五十等的收声都是ta，而二十的收声却是ti。由这些比较也可以看出在意大利也有二十进法的痕迹。

五进法、十进法、二十进法都可用指头来说明它们的起源，但我们现在还使用的数中，却有一种十二进法，不能同等看待。铅笔一打是十二支，肥皂一打是十二块，一尺有十二寸，重量的一磅有十二两，货币的一先令有十二便士，乃至于一年有十二个月，一日是十二时——西洋各国虽用二十四小时，但钟表上还只用十二——这些都是实际上用到的。再将各国的数字构造比较一下，更可以显然地看出有十二进法的痕迹，且先将英、法、德、意四国从一到十九，十九个数抄在下面：

&hreefourfivesixsevewelvethirteeeeeeeen

法uriosquatreesixsepthuitneufdixoreizequatorzequidix-huitdix-neuf

德einszweidreivierfünfseazehnelfzw?lfdreizehnvierzehnfünfzehnsesiebzehnaeunzehn

意uroqueseisetteottonovediedicidodicitrediciquattordidicisedicidiciassettediciottodiove

将这四种数字比较一下，可以看出几个事实：

（1）在英文中，一到十二，这十二个数字是独立的，十三以后才有一个划一的构成法，但这构成法和二十以后的数不同。

（2）在法文中，从一到十，这十个数字是独立的。十一到十六是一种构成法，十七以后又是一种构成法，这构成法却和二十以后的数相同。

（3）德文和英文一样。

（4）意文和法文一样。

原来就语言的系统说，法、意同属于意大利系，英、德同属于日耳曼系，渊源本不相同。语言原可说是生活的产物，由此可看出欧洲人古代所用的记数法有很大的差别。十进法、十二进法、二十进法，也许还有十六进法——中国不是也有十六两为一斤吗？倘使再将其他国家的数字来比较一下，我想一定还可以发现这几种进位法的痕迹。

所以，倘若我们有十二根手指头的话，采用十二进法一定是必然的。就已成的习惯看来，十进法已统一了“文明人”的世界，而十二进法还可以立足，那么十二进法一定有它非存在不可的原因。这原因是什么？依我的假想是从天文上来的，而和圆周的分割有关系。法国大革命后改用米制1，所有度量衡，乃至于圆弧都改用十进法。但度量衡法，虽经各国采用，认为极符合胃口，而圆弧法是敌不过含有十二进位的六十分法。这就可以看出十二进法有存在的必要。详细的解说，这里不讲，我还想写一篇关于各种单位的起源的话，在那里再说。天文在人类文化中是出现很早的，这是因为在自然界中昼夜、寒暑的变化最使人类惊异，又和人类的生活关系最密切的缘故。所以倘使我们有十二根手指头，采用十二进法记数，那一定没有十进法记数立足的余地，我们对数的世界才能真正地有一个完整的认识。

二

倘若我们用了十二进法记数，数的世界将变成一个怎样的局面呢？先来考察一下我们已用惯了的十进记数法是怎样一回事，为了便当，我们分成整数和小数两项来说。

例如：三千五百六十四，它的构成是这样的：3564=3000+500+60+4

=3×1000+5×100+6×10+4=3×103+5×102+6×10+4

用a1，a2，a3，a4……来表示基本数字，进位的标准数（这里就是十），我们叫它是底数，用r表示。由这个例子看起来一般的数的记法便是：在这里有一点虽容易明白，但需注意，这就是数字a1，a2，a3……的个数，连0算进去应当和r相等，所以有效数字的个数比r少一。在十进法中便只有1、2、3、4、5、6、7、8、9九个；在十二进法中便有1、2、3、4、5、6、7、8、9、t（10）、e（11）十一个。

为了和十进法的十、百、千易于区别，即用什、佰、仟来表示十二进法的位次，那么，在十二进法：

我们读起便是七仟“依”（e）佰八什“梯”（t）。