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八棕榄谜（第1页）

八、棕榄谜

一

在本年七月十三日的《申报本埠增刊》里载着一幅很大的广告，是美商上海棕榄公司的，现在择要抄在后面。

游戏规则：

一、一切规则均参照雀牌，棕榄香皂四字代替东南西北；珂路搿三字代替中發白；棕榄香皂、丝带牌牙膏及棕榄皂珠的三种图形则代替筒、条、万。

二、按照雀牌规则，由本公司总经理及华经理马伯乐先生在下图五十六只中，捡出十四只排定和牌一副，送至上海银行封存在第三四一零号保管箱中，至开奖时请公证人启视，以表郑重。

三、参加游戏者只可在下图五十六只中捡出十四只排成和牌一副，如与本公司所排定的和牌完全相同，则赠送无线电收机音一台。

四、本公司备同款收音机十台，作为赠品，仅以十座为限。如猜中者超过十人，则再用抽签法决定……

五、参加游戏需附寄大号棕榄香皂绿包纸及黑纸带各一，空函无效。每人最多只能猜四次，每猜一次均需纸、带各一。

有几位朋友和我谈起这“棕榄谜”的时候，他们随口就问：“从这五十六只中选出十四只排定和牌一副，究竟有多少种排法？”这本来只是数学上的一个计算问题，但要回答这一个确数，却不容易。倘若读者先想定一个答数，读完这篇文章后再来比较，我相信大多数的人都会吃惊不已的。

初学数学的人常常会提出这样的问题：“一个题目到手，应当怎样入手呢？”因为他们见到别人解答题目好像不费什么力，便觉得这里面一定有什么秘诀。其实科学中无所谓秘诀，要解答题目，只有依照一定的程序去思索。思考力经过训练后，这程序能够应用得比较纯熟，就容易使别人感到神妙了。学问本是严正的东西，并非变戏法，哪儿有什么神奇、奥妙？

本文目的：一是说明数学中叫作组合（bination）的这一种法则；二是说明思索数学题目的基本态度。平常我们在数学教科书中所遇到的问题都是编者安排好了的，要解答总有一定的法则可以应用，思索起来也比较简单。这里所用的这个题目既不是谁预先安排的，用来说明思索的态度比较周到些。不过头绪繁复，大家得耐着性子，死书以外的题目没有不繁复的呀。

二

一个题目到手，在思索怎样解答以前，必须对它有明确的认识：这题目中所含的意义是什么？已知的事项是什么？所要求出的事项是什么？这些都得辨别清楚，这是第一步。常常见到有些性急的朋友，题目还只看到一半，便动起手来，这自然不会做对。假如我的经验可靠，那么不但要先认清题目，而且还需将它记住，才去想。对题思索，在思索的进展上往往会生出许多纷扰。

认清题目以后，还有一步工作也省不来，那就是问一问“这题目是可能的吗”？数学上的题目，有些是表面上看起来非常容易，而一经着手便束手无策的。初等几何中的“三等分任意角”，代数中的“五次方程式——其实是五次以上的——一般的解法”，这些最后都归到不可能的领域中了。

所谓题目的不可能，一种是主观的能力，一种是客观的条件。只学过算术的人，三减五是不可能，这是第一种。三等分任意角，这是第二种，因为初等几何的作图，只许用没有刻度的尺和圆规两种器械。此外还有一种不可能，便是题目所给的条件不合或缺少，比如“鸡兔同笼共三十个头，五十只脚，求各有几只”，这是条件不合，因为三十只全是鸡也得有六十只脚。至于条件缺少，当然是不可能的。有一次我和孩子背九九乘法表，自然他对我只有惊异，但是他很顽皮，居然要制服我，忽然这样问道：“你会算，一间房子有几片瓦吗？”这我当然回答不上来，这是条件不够。我只能够在知道一间房子有几行瓦，每行有几片的时候算它的总数。

判定一个题目是否可能，照这里所说的看来，是解题以前的工作。但有些题目要判定它的不可能，还要给出一个不可能的理由来，不一定比解答题目容易，即如“三等分任意角”这一类就是经过不少的人研究才判定的。所以这里所说的只限于比较容易判定的范围，在这个范围内，能够判定所遇到的题目是否可能——主观的或客观的——对于学数学的人来说与解答问题一样重要。自然对于好的——编制和印刷上——教科书，我们可以相信那里面的题目总是可能的，遇到题目就向积极方面去思索，但这并不是正当的途径。

三

所遇到的题目，经过一番审度已是可能的了，自然就是思索解答的方法。这种思索有没有一定的途径可循呢？因为题目的不同，要找一条通路，那是不可能的，不过基本的态度却可以说一说。用这样的态度去思索题目的解法，虽不能说可以迎刃而解，但至少不至于走错路。若是经过了训练，还能够不至于多绕不必要的弯儿。

解答一个题目，需要的能力有两种：一是对于那题目所包含的一些事实的认识；一是对于解答那题目所需的数学上的法则的理解。例如关于鸡兔同笼的题目，鸡和兔每只都只有一个头，鸡是两只脚，兔是四只脚，这是题目上不曾说出而包含着的事实。倘若对于这些事实认识不充足，对于这类的题目便休想动手。至于解这个题目要用到乘法、减法、除法，若对于这些法则的根本意义不曾理解，那也是束手无策的。

现在我们转到“棕榄谜”上去。然而先得说明，我们要研究的是究竟有多少猜法，而不是怎样可猜中——照数学上说来，差不多是猜不中的，即使有人猜中，那只是偶然的幸运。

我们要解答的题目是：

在所绘的五十六张牌中，照雀牌规则捡出十四只来排成和牌一副，有多少种捡法？

这题目的解答就客观的条件说当然是可能的，因为从五十六张牌中捡出十四只的方法有多少种，可以用法则计算。在这些中，只要减去照“雀牌规则”排不成和牌的数目就行了。客观的条件既然是可能的，那么，我们就尽量使用我们的能力吧。

解答这个题目我们首先需要知道的是些什么呢？

从事实上说，应当知道依照雀牌的规则，怎样叫作一副和牌。

从算理上说，应当知道从若干东西中取出多少来的方法，应当怎样计算。

四

我相信所谓雀牌，读者当中十分之九是认识的，所以这里不来说明了。至于怎样玩法，知道的也许没有这般普遍，但这里不是编雀牌讲义，也用不到说。只有所谓的一副和牌非说明不可。

十四张牌，若可凑成四组三张的和一组两张的，这便是和了。为什么说凑成呢？因为并不是随便三张或两张都有成为一组的资格。照雀牌规则，三张成一组的只有两种：一是完全相同的；二是花色——如所谓筒、条、万——相同而连续的，如一、二、三筒，二、三、四条，三、四、五万等。至于两张成一组的那只有对子才能算数。

以所绘的五十六张为例，那么“棕棕棕，榄榄榄，香香香，皂皂皂，珂珂”便是一副和牌，而图中的十二只香皂再任意配上别的一对也是一副和牌，因为十二只香皂恰好可排成“一一一，二三四，五六七，七八九”四组。

五

从若干件东西中取多少件的方法，应当怎样计算呢？比如你约了九个朋友，总共十个人，组织一个数学研究会，要选两个人做干事，这有多少方法呢？

假如你已看过从前中学生的《数学讲话》，还能记起所讲过的排列法，那么这便容易了。假设两个干事还分正、副，那么这只是从十件东西中取出两件的排列法，它的总数是：

10P2=10×9=90

但是前面并没有说过分正、副，所以在这九十种中，王老三当正干事，李老二当副干事，与李老二当正干事，王老三当副干事，在本题只能算一种。因此从十个人当中推两个出来当干事，实际的方法只是：