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七八仙过海（第4页）

这次却真的到了底，我们要解决的问题是：“分多少排，总共排若干次，究竟要多少钱，而且只能要多少钱？”

上面已举出的钱的数目，在那例中都是必要而且充足的，说得明白点，就是不能多也不能少。我们怎样回答上面的问题呢？假如你只要一个答案就满足，那么是这样的：

设排数是a，排的次数是x，钱数是y，这三个数的关系如下：y=ax

我们将前面已讲的例代进去，看看这个话是否靠得住：

（1）（a）a=2，x=1，∴y=21=2

（b）a=2，x=2，∴y=22=4

（c）a=2，x=3，∴y=23=8

（d）a=2，x=4，∴y=24=16

（2）（a）a=3，x=1，∴y=31=3

（b）a=3，x=2，∴y=32=9（对吗？）

（c）a=3，x=3，∴y=33=27

（d）a=3，x=4，∴y=34=81（？）

（3）（a）a=4，x=1，∴y=41=4

（b）a=4，x=2，∴y=42=16（？）

（c）a=4，x=3，∴y=43=64

（d）a=4，x=4，∴y=44=256（？）

照这个结果来看，我们所用过的例子都合得上，那个回答大概总有些可靠了。就是几个不曾试过的数，想起来也还不至于错误。不过单是这样还不行，别人总得问我们理由。此刻是无可拖延，只得找出理由来。

真要理由吗？就是将我们所用过的例子合在一起用脑力去想，一定可以想得出来的。不过，这实在大可不必，有别人的现成架子可以装得上去时，直接痛快地装上去多么爽气。那么，在数学中可以找到这一栏吗？

可以。那就是顺列法，我们就来说顺列法吧。先说什么叫顺列法。

第二十二图

有几个不相同的东西，譬如A、B、C、D……几个字母，将它们的次序颠来倒去地排，计算这排法的数目，这种方法就叫顺列法。

顺列法的计算本来比较复杂，而且一不小心就容易弄错，要想弄清楚，自然只好去读教科书或是去请教你的数学教师。这里不过说着玩玩，只得限于基本的几个法则了。

第一，我们来讲几个东西全体的、不重复的顺列。这句话须得解释一下，譬如有A、B、C、D四个字母，我们一齐将它们拿出来排，这叫全体的顺列。所谓不重复是什么意思呢？那就是每个字母在一种排法中只需用一回，就好像甲、乙、丙、丁四个人排座位一样，甲既然坐了第一位，其余的三位当然不能再坐他的座位了。

要计算A、B、C、D这种排列法，我们先假定有四个位置在一条直线上，譬如是桌上画的四个位置，A、B、C、D是写在四个铜元上的。

第一步我们来就第一个位置想，A、B、C、D四个钱全都没有排上去，所以无论我们用哪一种摆法都行。这就可以知道，第一个位置有4种排法。我们取一个钱放到了1，那就只剩三个位置和三个钱了，跟着来摆第二个位置。

外面剩的钱还有三个，第二个位置无论用这三个当中的哪一个去填它都是一样。这就可以知道，第二个位置有3种排法。到了第二个位置也有一个钱将它占领时，桌子上只剩两个位置，外边只剩两个钱了。

第三个位置因为只有两个钱剩在外面，所以填的方法也只有2个。

当第三个位置也被一个钱占领了时，桌上只有一个空位，外面只有一个闲钱，所以第四个位置的排法便只有1个。

为了一目了然，我们还是来画一个图。

仔细观察第二十三图第一位，无论是A、B、C、D四个当中的哪一个，A或B，或C，或D，第二位都有三个排法，所以第一、第二位合在一起共有的排法是：

4×3

而第二位无论是A、B、C、D中的哪一个，第三位都有两个排法，所以一、二、三几个位置连在一起算，总共的排法是：

4×3×2

至于第四位，跟着第三位已经定了，只有一个方法，因此四个位置总共的排法是：

第二十三图

4×3×2×1=24

我们由图上去看，恰好总共是二十四排。

假如桌上有五个位置，外面有五个钱呢？那么第一个位置照前面说过的有5种排法，第一位排定以后，下面剩四个位置和四个钱，它们的排法便和前面说过的一样了，所以五个位置的钱的排法是：