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九韩信点兵（第5页）

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就这样推下去，联立方程式的个数只要比它们所含的未知数少，就得不出一定的解答来。

这样说起来，不定方程式系不是一点儿用场都没有了吗？这个疑问自然是应当有的，不过用场的有无实在难说。和尚捡到常州梳子自然没用，但若是江北大姐捡到，岂不喜出望外？仔细考察起来，不定方程式系虽然没有一定的解答，但它将所含的未知数间的关系加上了限制。即如第一个例子，x和y的数值虽然无定，但若y等于0，x就只能等于4；若y等于1，x就只能等于2。再就第二个例子说，也有同样的情形。这种关系倘若再得到别的条件来补充，那么，解答就不是漫无限制了，本来一个方程式也不过表示几个未知数在某种情形所具有的关系，也就只是一个条件。

我们就用“韩信点兵”的问题来做例吧。

设三三数所数的次数为x，五五数所数的次数为y，七七数所数的次数为z，而原数为N，则：

N=3x+2=5y+3=7z+2．

这有三个未知数只有两个方程式，但我们应当注意x、y、z都必须是正整数，这便是一个附带的条件，

因为x和y是正整数，所以2y+13虽是一个分数的形式，也必须是整数，设它是α，那么：

因为x和y都是整数，所以α-12也必须是整数，设它是β，则

现在γ既是整数，而且不能是负的。因为它若是负的，N也便是负的，对于题目来说便没有意义了，所以γ至少是1，而

N=105-82=23

自然γ可以是2、3、4、5、6……而N随着便是128、233、338、443、548……N的值虽无穷却有一个限制。

既说到代数的无定方程式，无妨顺着再说一点。

（a）解方程式3x+4y=22，x和y的值限于正整数，先将含y的项移到右边，则得

因为x和y都是正整数，而7本来是整数，所以1-y3也应当是整数，设它等于α，则

由（1）y既是正整数，α也是整数，所以α或是等于零或是负的，绝不能是正的。

由（2）x既是正整数，α也是整数，所以α应当是正的或是等于零，最小只能等于负1。

合看这两个条件，α只能等于零或负1，而

（b）解方程式5x-14y=11，x和y的值限于正整数。

因为x和y以及2都是整数，所以5也应当是整数，但这里和前一个例不同，不好直接设它等于α，因为若1+4y=α，则1+4y=5α，y=5α-14仍是一个分数的形式。要避去这个困难，必要的条件是使原来的分数的分子中y的系数为1。幸好这是可能的，不是吗？整数的倍数仍然是整数，我们无妨用一个适当的数去乘这分数，就是乘它的分子。所谓适当，就是乘了以后，y的系数恰等于分母的倍数多1。这好像又要用到了前面所说的求乘率的方法了，实际还可以不必这么大动干戈。乘数总比分母小，由观察便可知道了。在本例中，则可用4去乘，便得

而4+y5应当是整数，设它等于α，则

这里和前例也有点儿不同，由（1）和（2）看来，α只要是正整数就可以，不必再有什么限制，所以

这样的解答是无穷的。

将中国的老方法和现在我们所学的新方法比较一下，究竟哪一种好些，这虽很难说，但由此可以知道，一个问题的解法绝不只是一种。当学习数学的时候，能够注意别人的算法以及自己另辟蹊径去走都是有兴味而且有益处的。中学的“求一术”不但在中国数学史上占着很重要的地位，若能发扬光大，正有不少问题可以研究。

[附注]一个数用三去除，有三种情形：一是剩0（就是除尽）；二是剩1；三是剩2。同样地，用五去除有五种情形：剩0、1、2、3、4；用七去除有七种情形：剩0、1、2、3、4、5、6。从三除的三种情形中任取一种，和五除的五种情形中的任一种，以及七除的七种情形中的任一种配合，都能成一个“韩信点兵”的题目，所以总共有3×5×7=105个题。而这105个题的最小答数，恰是从0到104。这105个数中，把它们排列起来可以得出下面的表：这个表的构造是这样的：

（1）R3的一行的0、1、2表示三个三个地数的余数。

（2）R7的一行的0、1、2、3、4、5、6表示七个七个地数的余数。

（3）R5的一排的0、1、2、3、4表示五个五个地数的余数。

（4）中间的数便是105个相当的答数。

所以如说三数剩二，五数剩三，七数剩二，答数就是二十三。如说三数剩一，五数剩二，七数剩四，答数便是六十七。

表中各数的排列，仔细观察，也很有趣：

（1）就三大横排说，同行同小排的数次第加70——超过105，则减去它——正是泛母三的用数。

（2）就每个小横排说，次第加21——超过105，则减去它——正是泛母五的用数。

（3）就每大横排中的各行说，次第加15——超过105，则减去它——正是泛母七的用数。

这个理由自然是略加思索就会明白的。