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十一假如我们有十二根手指（第4页）

解这一种题目的基本原理有两个：

（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”倍。

（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”倍。如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”倍。

运用这第二个原理到上面所举的例题中，因为从原数中减十八所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：

（6+2）÷2=4——十位数字，（6-2）÷2=2——个位数字，而原数为42。

解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们来考察一下。

这式子最后的一段中，（8+3）正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。

这式子最后的一段中，（8-3）正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”倍来。但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。

将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。所以

第一原理（a）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的（r+1）倍。r是记数法的底数，在十进法为10，故（r+1）为“11”；在十二进法为12，故（r+1）为13（照十进法说的），在十二进位法中便也是11（一什一）。

第二原理（b）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的（r-1）倍，在十进法为“9”，在十二进法为“e”。

由这样看来，前面所举的例题，在十二进法中是不能成立的，因为在十二进法中，42减去24所剩的是1t，而不是18，若照原题的形式改成十二进法，那应当是：“有二位数……若从这数中减什梯（1t）……”

它的计算法就完全一样，不过得出来的42是十二进法的四什二，而不是十进法的四十二。

（2）关于整数的倍数的性质，且就十进法和十二进法两种对照着举几条如下：

（a）十进法——5的倍数末位是5或0。

十二进法——6的倍数末位是6或0。

（b）十进法——9的倍数各数字的和是9的倍数。

十二进法——e的倍数各数字的和是e的倍数。

（c）十进法——11的倍数，各奇数位数字的和，同着各偶数位数字的和，这两者的差为11的倍数或零。

十二进法——形式和十进法的相同，只是就十二进法说的一什一，在十进法是一十三。

上面所举的三项中，（a）是看了九九表和“依依”表就可明白的。（b）（c）的证法在十进法和十二进法一样，我们还可以给它们一个一般的证法，试以（b）为例，（c）就可依样画葫芦了。

设记数法的底数为r，各位数字为a0，a1，a2……an-1，an。各数字的和为S，则：

因为（rn-1）无论n是什么正整数都可以用（r-1）除尽，所以若用（r-1）除上式的两边，则右边所得的便是整数，设它是I，因而得

所以若N是（r-1）的倍数，S也应当是（r-1）的倍数，不然这个式子所表示的便不成为一个整数，等于一个整数和一个分数的和了，这是不合理的。

这是一般的证明，若把它特殊化，在十进法中（r-1）就是9，在十二进法中（r-1）便是e，由此便得（b）。

由这个证明，我们可以知道，在十进法中，3的倍数各数字的和是3的倍数。而在十二进法中，这却不一定，因为在十进法中9是3的倍数，而在十二进法中e却不是3的倍数。

从这些例子看起来，假如我们有十二根手指，我们的记数法采用十二进法，与用十进法记数比较起来，无论在数的世界或在数学的世界所起的变化是有限的，而且假如我们能不依赖手指表数的话，用十二进法记数还便利些。但是我们的文明，本是手的文明，又怎么能跳出这十根小宝贝的支配呢？