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六堆罗汉（第2页）

第七图

第九图

第十图

仔细观察一下第七、八、九图的B，我们得出下面的关系：

第七图的B的缺口恰好是12，但13和12，我们用同一形式表示，在意义上没有很大的差别，所以13刚好可以填23的缺口。

第八图B的缺口，每边都是3，这和第七图B的外边相等，可知13和23一起，又正好可将它填满。

最后，第九图的B的缺口每边都是6，又恰等于第八图的B的外边。因此13、23和33并在一起，也能将它填好。按照这个填法，我们便得第十图，它恰巧是13+23+33+43的总和。

从另一方面来说，第十图只是一个正方形，每边的长都等于：

1+2+3+4

所以它的面积应当是（1+2+3+4）的平方，因此我们就证明了下面的式子：

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

但这式子右边括弧里的数，照第一个例应当等于：

因此：

推到一般的情形去：

上面的三个例子，我们都只凭了几个很小的数字的观察，便推到一般的情形去，而得出一个含有n的公式。n代表任何整数，这个推证究竟可不可靠呢？换句话说，就是我们的推证有没有别的根据呢？按照实际的情形说，我们已得出的三个公式都是对的。但它对不对是一个问题，我们的推证法可不可靠又是一个问题。

我来另举一个例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方14641。从这几个数，我们可以看出三个法则：第一，这些数排列起来，对于中点说，都是对称的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒数第二位都等于乘方的次数。依这个观察的结果，我们可不可以说11的n次方便是1n……n1呢？要下这个判断，我们无妨再举出一个次数比4还高的乘方来看，最简便的自然就是5。11的5乘方，照实际计算的结果是161051。上面的三个条件，只有第二个还存在，若再乘到8次方，结果是214358881，就连第二个条件也不存在了。

由这个例子可以看出来，单就几个很小的数的变化观察得的结果，便推到一般去，不一定可靠。由这个理由，我们就不得不怀疑我们前面所得出的三个公式。倘使没有别的方法去证明，在那三个例中是有特殊的情形可以用那样的推证法，那么，我们宁愿去找另外一条路来解决。

是的，确实应该对前面所得出的三个公式产生怀疑，但我们也并非毫无根据。第一个式子最少到7是对的，第二、第三个式子最少到4也是对的。我们若耐心地接着试验下去，可以看出来，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是对的。但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。

我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”它的形式是对的，再来加以检查，为了方便，容我在此重写一次：

在这三个式子中，我们说n代表一个整数，那么n以下的一个整数就应当是n+1。假定这三个式子是对的，我们试来看看，当n变成n+1的时候是不是还对，这自然只是依照式子的“形式”去考查，但这种考查我们用不着怀疑。在某种意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。

所谓n变到n+1，无异于说，在各式的两边都加上一个含n+1项，照下面的程序计算：

从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式完全相同。因此，我们得出一个极重要的结论：“倘使我们的式子对于某一个整数，例如n，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（n+1），也是对的。”

事实上，我们已经观察出来了，这三个式子至少对于4都是对的。运用这个结论，我们无需再试验，也就有理由可以断定它们对于5（4+1）都是对的。既然对于5对了，那么同一理由，对于6（5+1）也是对的，再推下去对于7（6+1）、8（7+1）、9（8+1）……都是对的。

到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。这种证明法，我们叫它是数学的归纳法。

数学上常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。关于堆罗汉这类级数的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。本来：

S=1+2+3+……+（n_2）+（n_1）+n

若将这式子右边各项颠倒顺序，就得：S=n+（n_1）+（n_2）+……+3+2+1再将两式相加，便得出下面的式子：

两边再用2去除，于是：

这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点儿用不着怀疑，不过我们所用的方法究竟可不可靠也得注意。

一般说来，演绎法不大稳当，因为它的基础是建筑在一些更普遍的法则上面，倘使这些被它所凭借的、更普遍的法则当中，有几个或一个根本就不大稳固，那不是将有全盘动摇的危险吗？比如这个证明，第一步，将式子左边各项的顺序掉过，这是根据一个更普遍的法则叫作什么“交换定则”的。然而交换定则在一般情形固然可以运用无误，但在特殊的情形时，并非毫无问题。所以假如我们肯追根究底的话，这个证明法可以适用交换定则，也得另有根据。至于证明的第二、第三步，都是依据了数学上的公理，公理虽然没有什么证明做保障，但不容许怀疑，这可不必管它。

归纳法既比演绎法来得可靠，我们无妨再来探究一下。前面我们所用过的步骤，归纳起来有四个：

（一）根据少数的数目来观察出一个共通的形式；