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七八仙过海（第6页）

在实际上只要从n写起，往下总共连着写m个就行了。

这种排法也有一个符号，就是nPm。P左边的n表示总共的个数，P右边的m表示取出来排的个数，所以如在26个字母当中取出5个来排，它的方法总共就是26P5。

将上面的计算用这符号连起来，就得出下面的关系：

这里有一件很有趣味的事，譬如我们将前面说过的第一种排法也用这里的符号来表示，那就成为nPn，所以：

在n个东西当中去了m个，剩的还有n-m个，这n-m个若自己掉来掉去地排，它的数目就应当是：

朋友，我问你，用（n-m）！去除n！得什么？

如果你们想不出，我就将它们写出来：

从这个式子一看分子和分母将公因数消去后，恰好得：

这式子的右边和（1）式的完全一样，所以：

这个式子很有意思，我们可以这样想：从n个当中取出m个来排，和将n个全排好，从第m+1个起截断一样，因为nPn是n个的排列，n_mPn_m是m个以后所余的东西的排列。

举个例来说，5个字母取出3个来的排法是5P3，而5-3=2，

关于这两种顺列法的计算，基本原理就是这样。但应用起来不容易，因为许多题目往往包含着一些特殊条件，它们所能排成功的数目就会减少。譬如八个人坐的是圆桌，大家预先又没有说明什么叫首座，这比他们坐八仙桌的变化就少得多。又譬如在八个人当中有两个是夫妻，非挨着坐不可，或是有两个是生冤家死对头，不能坐在一起，或是有一个人是左手拿筷子的，若坐在别人的右边不免要和别人的筷子冲突起来。这些条件是数不尽的，只要有一个存在，排列的数目就得减少。朋友，你要想详细知道，我只好劝你去读教科书或去请教你的教师，这里却不谈了。

呵！你也许不免要急得跳起来了吧？说了半天，和“八仙过海”有什么关系呢？这是应当赶快解决的，不错。但还得请你忍耐一下，单是这样，这架子还不够，不能好好地将“八仙过海”这一类的玩意儿往上摆。我们得另说一种别的排列法。

前面的两种都是不重复的，但“八仙过海”每一个钱的三次位置不是上就是下，所以总得重复，这种排列法究竟和前面所说过的两种有点儿大同小异，就算它是第一种吧。

第三种是n种东西m次数可重复的顺列。就用“八仙过海”来作例，排来排去，不是上便是下，所以就算有两种东西，我们无妨用a、b来代表它们。

首先说两次的排法，就和第二十四图一样。第一个位置因为我们只有a、b两种不同的东西，所以只好有2种排法。

第二十四图

但是在这里，因为a和b都可重用的缘故，就是第一个位置被a占了，它还是可以有2个排法；同样地，它被b占了也仍然有2个排法。因此总共的排法应当是：

2×2=22=4

譬如像“八仙过海”一般，排的是3次呢，照这里的话说，就是有三个位子可排，那么就如第二十五图的样，全体的排法是：

第二十五图

2×2×2=23=8

这不就说明了“八仙过海”，分上下两排，总共排三次，位置不同的变化是8吗？

我们前面曾经说过分三排只排三次的例子，用a、b、c代表上、中、下，说明是一样的，暂且省略。就第二十六图看，可以知道排列的总方法是：

3×3×3=33=27

这个数目和我们前面所用的钱恰好一样。

第二十六图

照同样的例子，分一、二、三、四，四排只排三次的数目是：

4×4×4=43=64

前面还说过排数不变、次数变的例子。两排只排三次，已说过了。两排排四次呢，那就如第二十七图，总共能排的数目应当是：

第二十七图

2×2×2×2=24=16

若排的是三排，总共排四次，照同样的道理，它的总数是：

3×3×3×3=34=81

以前所举出的例子都可照样推算出来。将这几个式子在一起比较，乘数是跟着排数变的，乘的次数，就是指数，是跟着排的次数变的，所以若排数是a，排的次数是x，钱数是y，那么，

y=ax

用一般的话来说，就是这样：“n种东西，m次数可重复的顺列，便是n的m次乘方，nm。”

所谓“八仙过海”，现在可算明白了，不过是顺列法中的一种游戏，有什么奇妙呢？你只要记好y等于a的x乘方这个式子，你想分几排，排几次，心里一算就可知道，应当请几位神仙下凡。你再照前面所说过的（4）（5）两个步骤去做，神仙的道法虽高，如来佛的手心却可伸缩，岂知孙悟空的筋斗云无用呢？