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五诱导函数的几何表示法（第3页）

我们动手来画吧！过P点引一条水平线PB，使它的长为2厘米，在B这一头，再画一条垂直线Ba，它的长是1厘米，最后把Ba的一头a和P连接起来作一条直线。这么一来，直线Pa在P点的倾斜率等于Ba和PB的比，恰好是1，所以它就是我们所要求的在曲线上P点的切线。

对于切线的问题。我们算是有了一个一般的解答了。但是，我问你，一直说到现在，我们所解决的都是一些特别的例子，能不能用到一般的已定曲线上去呢？

还不能呢！还得要用数学的方法，再进一步找出它的一般的原理才行。不过要达到这个目的，并不困难。我们再从我们所用的方法当中仔细探究一番，就可以得到一个称心如意的回答了。

我们所用的方法含有什么性质呢？

假如我们记清楚从前所说过的：什么连续函数咧，它的什么变化咧，这些变化的什么平均值咧……这一类的东西，将它们来比照一下，对于我们所用的方法，一定更加明了。

一条曲线和一个函数，本可以看成完全一样的东西，因为一个函数可以表示出它的性质，也可以用图形表示出来。所以，一样的情形，一条曲线也就表示一个点的运动情形。

为了要弄清楚一个点的运动情形，我们曾经研究过用来表示这运动的函数有怎样的变化。研究的结果，将诱导函数的意义也弄明白了。我们知道它在一般的形式下面，也是一个函数，函数一般的性质和变化它都含有。

认为函数是表示一种运动的时候，它的诱导函数，就是表示每一刹那间，这运动所有的速度。

抛开运动不讲，在一般的情形当中，一个函数的诱导函数含有什么意义呢？

我们再来简单地看一下，诱导函数是怎样被我们诱导出来的。对于变数，我们先使它任意加大一点，然后从这点出发去计算所要求的诱导函数。就是找出相应于这点变化，那函数增加了多少，接着就求这两个增加的数的比。

因为函数的增加是依赖着变数的增加，所以我们跟着就留意，在那增加的量很小很小的时候，它的变化是怎样的。

这样的做法，我们已说过很多次，而结果仍旧是一样的。那增加的量无限小的时候，这个比就达到一个固定的值。中间有个必要的条件，我们不要忘掉，若是这个比有极限的时候，那个函数是连续的。

将这些情形和所讲过的计算一条曲线的切线的倾斜率的方法比较一下，我们仍旧一头雾水，它们实在没有什么区别吗？

最后，就得出这么一个结论：一个函数表示一条曲线，函数的每一个值都相应于那曲线上的一点，对于函数的每一个值的诱导函数，就是那曲线上相应点的切线的倾斜率。

这样说来，切线的倾斜率便有一个一般的求法了。这个结果不但对于本问题很重要，它简直是微积分的台柱子。

这不但解释了切线的倾斜率的求法，而且反过来，也就得出了诱导函数在数学函数上的抽象的意义。正和我们为了要研究函数的变化，却得到了无限小和它的计算法，以及诱导函数的意义一样。

再多说一句，诱导函数这个宝贝，非常玲珑。你讲运动吧，它就表示这运动的速度；你讲几何吧，它又变成曲线上一点的切线的倾斜率。你看它多么活泼、有趣！

索性再来看看它还有什么把戏可以耍出来。

诱导函数表示运动的速度，就可以指示出那运动有什么变化。

在图形上，它既表示切线的倾斜率，又有什么可以指示给我们看的呢？

设想有一条曲线，对了，曲线本是一条弯来弯去的线，它在什么地方有怎样的弯法，我们有没有方法可以表明呢？

从图上看吧，在a点附近曲线弯得快些。换句话说，x的距离越大，而相应的y的距离越大。这就证明在a点的切线，它的倾斜度更陡。

在b点呢，切线的倾斜度就较平了，切线和水平线所成的角也很小，x和y的距离增加的强弱相差也不大。

至于c点，倾斜度简直成了零切线，和水平线近乎平行，x的距离尽管增加，y的值总是老样子，所以这条曲线也很平。接着下去，它反而向下弯起来，就是说，x的距离增加，y的值反而减小。在这里，倾斜度就改变了方向，一直降到d才又回头。从c到d这一段，因为倾斜度变了方向的缘故，我们就说它是“负的”。

最后，在e点倾斜度成了直角，就是切线与垂直线几乎平行的时候，这条曲线变得非常陡。x若只无限小地增加一点的时候，y的值还是一样。

知道了这个例子后，对于诱导函数的研究，它有多大，它是正或负，都可以指示出曲线的变化来。这正和用它表示速度时，可以看出运动的变化情形一样。

你看！诱导函数这么一点儿小家伙，它的花招有多少！