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四从数学问题说到我们的思想（第1页）

四、从数学问题说到我们的思想

是在什么时候，已记不清楚了。大概说来，约在十六七年前吧，从一部旧小说上，也许是《镜花缘》，看到一个数学题的算法，觉得很巧妙，至今仍没有忘记。那是一个关于鸡兔同笼的问题，题上的数字现在已有点儿模糊，假使总共十二个头，三十只脚，要求的便是那笼子里边究竟有几只鸡、几只兔。

那书上的算法很简便，将总共的脚的数目三十折半，得十五，从这十五中减去总共的头的数目十二，剩的是三，这就是那笼子里面的兔的只数；再从总共的头数减去兔的头数三，剩的是九，便是要求的鸡的数目。真是一点儿不差，三只兔和九只鸡，总共恰是十二个头，三十只脚。

这个算法，不但简便，仔细想一想，还很有趣味。把三十折半，无异于将每只兔和每只鸡都顺着它们的脊背分成两半，而每只只留一半在笼里。这么一来，笼里每半只死兔都只有两只脚，而死鸡每半只都只有一只脚了。至于头，鸡也许已被砍去一半，但既是头，无妨就算它是一个。这就变成这么一个情景了，每半只死鸡有一个头、一只脚，每半只死兔有一个头、两只脚，因此总共的数目脚的还是比头的多。之所以多的原因，显而易见，全是从死兔的身上出来的，死鸡一点儿功劳没有。所以从十五减去十二余的三就是每半只死兔留下一只脚，还多出来的脚的数目。然而每半只死兔只能多出一只脚来，多了三只脚就证明笼里面有三个死的半只兔。原来，就应当有三只活的整兔。十二只里面去了三只，还剩九只，这既不是兔，当然是鸡了。

这个题目是很常见的，几乎无论哪一本数学教科书只要一讲到四则问题，就离不了它。但数学教科书上的算法，比起小说上的来，实在笨得多。为了便当，这里也写了出来。头数一十二用二去乘，得二十四，从三十里减去它，得六。因为兔是四只脚，鸡是两只，所以每只兔比每只鸡多出来的脚的数目是四减二，也就是二。用这二去除上面所得的六，恰好商三，这就是兔的只数。有了兔的只数，要求鸡的，那就和小说上的方法没有两样。

这方法真有点儿呆！我记得，在小学读数学的时候，为了要用二去除六，明明是脚除脚，忽然就变成头，想了三天三夜都不曾想明白！现在，多吃了一二十年的饭，总算明白了。这个题目的算法，总算懂得了。脚除脚，不过纸上谈兵，并不是真的将一只脚去弄别的一只，所以变成头，变化整个兔或鸡都没关系。正和上面所说，将每只兔或鸡劈成两半一样，并非真用刀去劈，不过心里想想而已，所以劈了过后还活得过来，一点儿不伤畜道！

我一直都觉得，这样的题目总是小说上来得有趣，来得便当。近来，因为一些别的机缘，再将它俩比较一看，结果却有些不同了。不但不同而已，简直是恰好全然相反了。从这里面还得到一个教训，那就是贪便宜，最终得不到便宜。

所谓便宜，照经济的说法，就是劳力小而成功大，所以一本万利，即如一块钱买张彩票中了头彩，轻轻巧巧地就拿一万元，这是人人都欢喜的。说得高雅些，堂皇些，那就是科学上的所谓法则。向着这条路走，越是可以应用得宽的法则越受人崇拜。爱因斯坦的相对论，非欧几里得派的几何，也都是为了它们能够统领更大的范围，所以价值更高。科学上永远是喊“帝国主义万岁”，弱小民族无法翻身的！说得明白点儿，那就是人类生来就有些贪心，而又有些懒惰。实际呢？精力也有限得可怜，所以常常自己给自己碰钉子。无论看见什么，都想知道它，都想用一种什么方法对付它，然而多用力气，却又不大愿意。于是，便整天想要找出一些推之四海而皆准的法则，总想有一天真能达到“纳须弥于芥子”的境界。这就是人类对于一切事物都希望从根底上寻出它们的一个基本的、普遍的法则来的理由。因此学术一天一天地向前进展，人类所能了解的东西也就一天多似一天，但这是从外形上讲。若就内在说，那支配这些繁复的事象的法则为人所了解的，却一天一天地简单，换言之，就是日见其抽象。

回到前面所举的数学上的题目去，我们可以看出那两个法则的不同，随着就可以判别它们的价值，究竟孰高孰低。

第一，我们先将题目分析一下，它总共含四个条件：（一）兔有四只脚；（二）鸡有两只脚；（三）总共十二个头；（四）总共三十只脚。这四个条件，无论其中有一个或几个变化，所求得的数就不相同，尽管题目的外形全不变。再进一步，我们还可以将题目的外形也变更，但骨子里面没有两样。举个例子说：“一百馒头，一百僧，大僧一人吃三个，小僧一个馒头三人分，问你大僧、小僧各几人？”这样的题，一眼看去，大僧、小僧和兔子、鸡风牛马不相及，但若追寻它的计算的基本原理，放到大算盘上去却毫无二致。

为了一劳永逸的缘故，我们需要一个在骨子里可以支配这类题目，无论它们外形怎样不同的方法。那么，我们现在就要问了，前面的两个方法，一个小说上的，巧妙的，一个教科书上的，呆笨的，是不是都有这般的力量呢？所得的回答，却只有否定了。用小说上的方法，此路不通，就得碰壁。至于教科书上的方法，却还可以迎刃而解，虽然笨拙一些。我们再将这个怪题算出来，假定一百个都是大僧，每人吃三个馒头，那就要三百个（三乘一百），不是明明差了两百（三百减去一百）个吗？这如何是好呢？只得在小僧的头上去揩油了。一个大僧掉换成一个小僧，有多少油可揩呢？不多不少恰好三分之八个（大僧每人吃三个，小僧每人吃三分之一，三减去三分之一余三分之八）。若要问，需要揩上多少小僧的油，其余的大僧才可以每人吃到三个馒头？那么用三分之八去除二百，得七十五，这便是小僧的数目。一百里面减去七十五剩二十五，这就是每人有三个馒头吃的大僧的数目了。

将前面的题目的计算顺序，和这里的比较，即刻可看出一点儿差别都没有，除了数量不相同。由此可知，数学教科书上的法则，含有一般性，可以应用得宽广些。小说上的法则既然那么巧妙，为什么不能用到这个外形不同的题目上呢？这就因为它缺乏一般性，我们试来对它下一番检查。

这个法则的成立，有三个基本条件：第一，总共的脚数和两种的脚数，都要是可以折半的；第二，两种有脚的数目恰好差两只，或者说，折半以后差一只；第三，折半以后，有一种每个只有一只脚了。这三个条件，第一个是随了第二、三个就可以成立的。至于第二、第三个条件并在一起，无异是说，必须一种是两只脚，一种是四只脚。这就判定了这个方法的力量，永远只有和兔子、鸡这类题目打交道。

我们另外举一个条件略改变一点儿的例子，仿照这方法计算，更可以看出它不方便的地方。由此也就可以知道，这方法虽然在特殊情形当中有着意外的便宜，但它非常硬性，推到一般的情形上去，反倒觉得笨重。八方桌和六方桌，总共八张，总共有五十二个角，试求每种各有几张。这个题目具备了前面所举的三个条件中的第一个和第二个，只缺第三个，所以不能完全用相同的方法计算。先将五十二折半得二十六，八方和六方折半以后，它们的角的数目相差虽只有一，但六方的折半还有三个角，八方的还有四个。所以，在二十六个角里面，必须将每张桌折半以后的角数三只三只地都减去。总共减去三乘八得出来的二十四个角，所剩的才是每张八方桌比每张六方桌所多出的角数的一半。所以二十六减去二十四剩二，这便是八方桌有两张，八张减去二张剩六张，这就是六方桌的数目。将原来的方法用到这道题上，步骤就复杂了，但教科书上所说的方法，用到那些形式相差很远的例子上并不繁重，这就可以证明两种方法使用范围的广狭了。

越是普遍的法则，用来对付特殊的事例，往往容易显出不灵巧，但它的效用并不在使人得到小花招，而是要给大家一种可靠的能够一以当百的方法。这种方法的发展性比较大，它是建筑在一类事象所共有的原理上面的。像上面所举出的小说上所载的方法，它的成立所需的条件比较多，因此就把它可运用的范围画小了。

暂且丢开这些例子，另举一个别的来看。中国很老的数学书，如《周髀算经》上面，就载有一个关于直角三角形的定理，所谓“勾三股四弦五”。这正和希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）的定理“直角三角形的斜边的平方等于它两边的平方的和”本质上没有区别。但由于表出的方法不同，它们的进展就大相悬殊。从时间上看，毕达哥拉斯是纪元前六世纪的人，《周髀算经》出世的时代虽已不能确定，但总不止二千六百年。从这儿，我们中国人也可以自傲了，这样的定理，我们老早就有的。这似乎比把墨子的木鸢当作飞行机的始祖来得大方些。然而为什么毕达哥拉斯的定理在数学史上有着很大的发展，而“勾三股四弦五”的说法，却没有新的突破呢？

坦白讲，这是后人努力不努力的缘故。是，我赞同这个理由，但我想即使有同样的努力，它们的发展也不会一样，因为它们所含的一般性已不相等了。所谓“勾三股四弦五”究竟所表示的意义是什么？还是说三边有这样的差呢？还是说三边有这样的比呢？固然已经学了这个定理，是会知道它真实的意义的。但这个意义没有本质地存在于我们的脑海里，却用几个特殊的数字硬化了，这不能不算是思想发展的一个大障碍。在思想上，尽管让一大堆特殊的认识不相关联地存在，那么，普遍的法则是无从下手去追寻的。不能擒到一些事象的法则，就不能将事象整理得秩然有序，因而要想对于它们有更丰富、更广阔、更深邃的认识，也就不可能。

有人说中国没有系统的科学，没有系统的哲学，是由于中国人太贪小利，只顾眼前的实用，还有些别的社会上的原因，我都不否认。不过，我近来却感到，我们思想的前进的道路有些不同，这也是原因之一，也许还是本原的，较大的。在中国的老数学书上，我们很可以看出这些值得我们崇敬的成绩，但它发展得非常缓慢，非常狭窄。这就是因为那些已发现的定理大都是用特殊的几个数表出，使它的本质不能明晰地显现，不便于扩张、深究的缘故。我们从“勾三股四弦五”这一种形式的定理，要去研究出钝角三角形或锐角三角形的三边的关系，那就非常困难。所以现在我们还不知道，钝角三角形或锐角三角形的三边究竟有怎样的三个简单的数字的关系存在，也许压根儿就没有这回事吧！

至于毕达哥拉斯的定理，在几何上、在数论上都有不少的发展。详细地说，当然不可能，喜欢数学的人，很容易知道，现在只大略叙述一点。

在几何上，有三个定理平列着：

（一）直角三角形，斜边的平方等于它两边的平方的和。

（二）钝角三角形，对钝角的一边的平方等于它两边的平方的和，加上这两边中的一边和它一边在它的上面的射影的乘积的二倍。

（三）锐角三角形，对锐角的一边的平方等于它两边的平方的和，减去这两边中的一边和它一边在它的上面的射影的乘积的二倍。

单只这样说，也许不清楚，我们再用图和算式来表明它们。

（1）是直角三角形，A是直角，BC是斜边，上面的定理用式子来表示是：

（2）是钝角三角形，A是钝角，上面的定理用式子表示是这样：

（3）是锐角三角形，A是锐角，上面的定理可以用下式表示：

三条直线围成一个三角形，由角的形式上说，只有直角、钝角和锐角三种，所以既然有了这三个定理，三角形三边的长度的关系，已经全然明白了。但分成三个定理，记起来未免麻烦，还是有些不适于我们的懒脾气。能够想一个方法，将这三个定理合并成一个，岂不是奇妙无比吗？

人，一方面固然懒，然而所以容许懒，是因为有些人高兴而且能够替懒人想方法的缘故。我们想把这三个定理合并成一个，结果真有人替我们想出方法来了，他对我们这样说：“你记好两件事：第一件，在图上，从C画垂线到AB，若这条垂线正好和CA重在一块，那么D和A也就分不开，两点并成了一点，DA的长是零。第二件，若从C画垂线到AB，这垂线落在三角形的外面，那么，C点也就在AB的外边，DA的长算是‘正’的；若垂线落在三角形的里面，那么，D点就在AB之间，DA在上面是从外向里，在这里却是从里向外，恰好相反，这就算它是‘负的’。”

记好这两件事，上面的三个定理，就只有一个了，那便是：