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八棕榄谜（第2页）

10P2÷2=90÷2=45

同样地，假如你要在A、B、C、D……二十六个字母中，取出两个来做什么符号，若所取的次序也有关系，AB和BA以及BC和CB……两两不相同，则你的取法共是：

26P2=26×25=650

若所取的次序没有关系，AB和BA以及BC和CB……就两两相同，只能算成一种，则取法共是：

26P2÷2=650÷2=325

由此可以推到一般的情形去，从n件东西里取出两个来的方法，不管它们的顺序，则总共的取法是：

到了这一步，我们的讨论还没完，因为所取的东西都只有两件，若是三件怎样呢？在你组织的数学研究会中，若是举的干事是三人，总共有多少选举法呢？

假定这三个干事的职务不同，比如说一个是记录，一个是会计，一个是庶务，那么推选的方法便是从十个当中取出三个的排列，而总数是：

10P3=10×9×8=720

但若不管职务的差别，则张、王、李三个人被选出来后，无论他们对于三种职务怎样分担都是一样的，只好算是一种选举法。因此我们应当用三个人三种职务分担法的数目去除前面所得的720，而三个人三种职务的分担法总共是：

3P3=3×2×1=6

所以从十个人中选出三个干事的方法共是：

同样地，若从A、B、C、D……二十六个字母中取出三个，不管它们的顺序，则总数是：

因为在26P3的各种排列中，每三个字母相同只有顺序不同的（如ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA）只能算成一种，就是3P3当中的各种只算成一种。

从这里我们可以看出来，前面计算取两个的例子，我们用2作除数，在算理上应当是：

于是我们可以得出一般的公式来，从n件东西中，取出m件的方法应当是：

若用n件东西中取m件”的总数，则

这个公式便是一般的计算组合的式子，为了便当一些，还可以将它的形式变更一下；

举个例说，若在十八个球员中选十一个出来和别人比赛，推举的方法总共便是：

这是依照了公式（1）计算的，实际我们由公式（2）计算更简捷些，

n-m）这个性质，从实际推想出来的，非常有趣味。前面是说从n件里面取出m件，后面是说从n件里面取出（n-m）件，这两样的数目当然是一样的。你若要追问怎样说是“当然”，那么，你可以这样想：比如一只口袋里面装有n件小玩意儿，你从口袋里摸出m件，那里面所剩的便是（n-m）件。你的摸法不同，口袋里的剩法也不同。你有若干种摸法，口袋里便跟着有若干种剩法。摸法和剩法完全是就你自己的地位说的，就东西说，不过分成两组，一在口袋外，一在口袋里罢了。那么，取和舍的方法相同不是当然的吗？

组合的基本计算不过这么一回事，但这里有一点应当注意，上面所说的n件东西是完全不相同的，若其中有些相同，计算起来便有些不一样了。关于这一层疑惑，读者倘若还要知道得更详细些，最好自己去想一想，不然请看教科书去吧。归到棕榄谜上去，假如五十六张全不相同，那么捡出十四张的方法便是：

六

照理论说，既然已经知道从五十六张全不相同的牌中取出十四张的方法的数目，进一步将相同而重复的数目以及不成一副和牌的数目减去，便得所求的答案了。然而说起来容易，做起来却不简单。实际上要计算不成一副和牌的数目，比另起炉灶来计算能成一副和牌的数目更繁杂。我们另走一条路吧！

照雀牌的规则仔细想一想，每一张牌要在一副和牌中能占一个位置，都必得和别的牌联络，六亲无靠只有被淘汰。因此，我们研究和牌的形式不必从每一张上去着想，而可改换途径用每一组做单元。

那么，所绘的五十六张牌中，三张或两张一组，能够有多少组是有资格加入到和牌里去呢？

要回答这个问题，我们先将所有的材料来整理一下，五十六张中，就花色说，数目的分配是这样的：

（1）字：

棕3榄3香3皂3珂3路3搿4（2）花色：这些材料参照雀牌规则可以组成三张组和二张组的数目如下：（1）字：

（a）三同色组：棕、榄、香、皂、珂、路、搿各1组，共7组（b）三连续组：无

（c）对子组：棕、榄、香、皂、珂、路、搿各1组，共7组（2）花色：

各组数目的计算，三同色组和对子组是已有的材料一望就可知道的，只有三连续组，就是从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个自然数中取三个连续的方法，关于这一种数目的计算和前面所说的一般的组合法显然不同。这有没有一定的公式呢？直截了当地回答“有”。

设若有n个连续的自然数，要取2个相连续的，那么取的方法总共就是：

n?2?1　=n　?2+1　=n?1

因为从第一个起，将第二个和它相连得一种，接着我们将第三个去换第一个又得一种，再将第四个去换第二个又得一种，依次下去，最后是将第n个去换第（n-2）个。所以n个中除去第一个外，共有（n-1）个都可和它们前面一个相连成一种，因而总共的方法便是（n-1）种。为什么上面的式子一开始我们要写成n?2?1呢？因为每组要两个，全数中就有一个是没有前面的数供它连上去的。

由此可以知道，在n个连续的自然数中，要取3个连续数的方法共是：

n?3?1　=n?3+1=n?2