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十三集合论（第2页）

你不相信吗？比如有一个正方形，它的一边是AB。我问你，整个正方形内的点的总集，是不是比单只一边AB上的点的总集的次数要高些呢？凭我们的直觉，总要给它一个肯定的回答，但这你上当了，仔细去证明，它们俩的次数恰好相等。

总结以上的话，你记好下面的基本的定理：“若是有了一个无限总集，我们总能够做出一个次数比它高的来。”

要证明这个定理，我们就用整数的总集来做基础，那么，所有可枚举的无限总集也就不用再证明了。为了说明简单些，我只随意再用一个总集。

照前面说过的，整数的总集是这样：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

就用E代表它。

凡是用E当中的单元所做成的总集，无论所含的单元的数有限或无限，都称它们为E的“局部总集”，所以：

这些都是E的局部总集，我们用Pn来代表它们。

第一步，凡是用E的单元能够做成的局部总集，我们都将它们做尽。

第二步，我们就来做一个新的总集C，C的每一个单元都是E的一个局部总集Pn，而且所有E的局部总集全都包含在里面。这样一来，C便成了E的一切局部总集的总集。

你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。我们要证明C的次数比第一个总集E的高。因此，还要重复说一次，比较两个总集的法则，你也务必将它记好。

我们必须要对于E的每一个单元都能从C当中取一个出来和它成对。实际上只要依下面的方法配合就够了：

从这样的配合法中可以看出来，第二行只用到C单元的一部分，所以C的次数或是比E的高或是和E的相等。

我们能不能转过头来，对于C当中的每一个单元都从E当中取出一个和它成对呢？

假如能做到，那么E和C的次数是相等的。

假如不能做到，那么C的次数就高于E的。

我们无妨就假定能够做到，看会不会碰钉子！

算这种配合法的方法是有的，我们随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：

单就这两行看，第一行是所有的局部总集，就是所有C的单元都来了（因为我们要这样做）。第二行却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。因为我们是对着第一行的单元取出来的，究竟取完了没有还说不定。

这回，我们来一对一地检查一下，先从P1和它的对儿1起。因为P1是E的局部总集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。假如P1里面没有1，我们将它放在一边。跟着来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。照这样一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。

这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成一个整数的总集。朋友！这点你却要注意，一点儿马虎不得！我们检查的时候，因为有些整数它的对儿里面已有了，所以没有放出来。由此可见，我们新做成的整数总集不过包含整数的一部分，所以它也是E的局部总集。但是我们前面说过，C的单元是E的局部总集，而且所有E的局部总集全部包含在C里面了，所以这个新的局部总集也应当是C的一个单元。用Pt来代表这个新的总集，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的单元都排在那儿的。

既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个单元来和它成对。

假定和Pt成对的整数是t。

朋友！糟了！这就碰钉子了！你若还要硬撑场面，那么再做下去。

在这里我们又有两种可能的情况：

第一种：t是Pt的一部分，但是这回真碰钉子了。Pt所包含的单元是在第一行中成对儿的单元所不包含在里面的整数，而Pt自己就是第一行的一个单元，这不是矛盾了吗？所以t不应当是Pt的一部分，这就到了下面的情况。

第二种：t不是Pt的一部分，这有可能把钉子避开吗？不行，不行，还是不行。Pt是第一行的一个单元，t和它相对又不包含在里面，我们检查的时候，就把它放在一边了。朋友，你看，这多么糟！既然t被我们检查的时候放在了一边，而Pt就是这些被放在一边的整数的总集结果，t就应当是Pt的一部分。

这多么糟！照第一种说法，t是Pt的一部分，不行；照第二种说法t不是Pt的一部分也不行。说来说去都不行，只好回头了。在E的单元当中，就没有和C的单元Pt成对的。朋友，你还得注意，我们将两行的单元配对，原来是随意的，所以要是不承认E的单元里面没有和Pt配对的，这种钉子无论怎样我们都得碰。

第一次将E和C比较，已知道C的次数必是高于E的或等于E的。现在比较下来，E的次数不能和C的相等，所以我们说C的次数高于E的。

归到最后的结果，就是我们前面所说的定理已证明了，有一个无限总集，我们就可做出次数高于它的无限总集来。

无限总集的理论，也有一个无限的广场展开在它的面前！

我们常常都能够比较这一个和那一个无限总集的次数吗？

我们能够将无限总集照它们次数的顺序排列吗？

所有这一类的难题目以及其他关于“无限”的问题，都还没有在这个理论当中占有地盘。不过这个理论既然已经具有相当的基础，又逐渐往前进展，这些问题总有解决的一天，毕竟现在我们对于“无限”不会像从前一样感到惊奇不可思议了！

老实说，数学家们无论对于做这个理论的基础的一些假定，或是对于从里面探究出来的一些悖论的解释都还没有全部的理解。

然而，我们不用感到吃惊，一种新的理论产生正和一个婴儿的诞生一样，要他长大做一番惊人的事业，养育和保护都少不了！