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六堆罗汉（第1页）

六、堆罗汉

堆罗汉这种游戏，在学校中很常见，这里用不到再来说明，只不过举它做个例：从最下排起数上去，每排次第少一个人，直到顶上只有一个人为止。像这类依序相差同样的数的一群数，在数学上我们叫它们是等差级数。关于等差极数的计算，其实并不难懂，小学的数学课本里面也都有讲到，所以这里也将它放在一边，只讲从1起到某一数为止的若干个连续整数的和，用式子表示出来，就是：

（1）1+2+3+4+5+6+7+……

和这个性质相类似的，还有从1起到某数为止的各整数的平方和、立方和，就是：

（2）12+22+32+42+52+62+72+……

（3）13+23+33+43+53+63+73+……

第一图

从第一图看去，这个长方形由A，B两块组成，而B恰好是A的倒置，所以：

A=1+2+3+4+5+6+7

B=7+6+5+4+3+2+1

A、B的总和是相同的，各等于整个矩形的面积的一半。至于这个矩形的面积，只要将它的长和宽相乘就可得出了，它的长是7，宽是7+1，因此面积便是：

7×（7+1）=7×8=56

而A的总和正是这56的2分之1，由此我们就得出一个式子：

这个式子推到一般的情形去，就变成了：

第二、第三个例，我们也可以用图形来研究它们的结果，不过比较繁杂，但也更有趣味，现在还是分开来讨论吧。

第二图

从第二图，我们注意小方块的数目和大方块的关系，很明白地可以看出来：

若用话来说明，就是2的平方恰好等于从1起的2个连续奇数的和；3的平方恰等于从1起的3个连续奇数的和，一直推下去，7的平方就是从1起的7个连续奇数的和。所以若要求从1到7的7个数的平方和，只需将上列七个式子的右边相加就可以了。虽然这个法子没有什么不合理的地方，毕竟不简便，而且从中要找出一般的式子也不容易，因此我们得另找一条路。

试将各式的右边表示的和，照堆罗汉的形式堆起来，我们就得出第三图的形式（为了简便，只用1、2、3、4四个数）：

第三图

从这几个图，可以看出这样的结果，12+22+32+42这个总和当中有4个1，3个3，2个5，1个7。所以我们要求的总和，依前一个形式可以排成第四图，依后一个形式可以排成第五图。将它们比较一下，我们马上就知道若将第四图倒置，拼到第五图，那么右边就没有缺口了；若将第四图不但倒置而且还翻一个身，拼成第六图，那么，左边也就直了。所以用两个第四图和一个第五图刚好能够拼成第六图那样的一个矩形。由它，我们就可知道所求的和正是它的面积的3分之1。

至于这个矩形：它的长是1+2+3+4=4×（4+1）2=10，宽却是4+1+4=9。因此，它的面积应当是10×9=90，而我们所要求的12+22+32+42的总和应当等于90的3分之1，那就是30。按照实际去计算12+22+32+42=1+4+9+16，也仍然是30。由此可知，这个观察没有一丝错误。

若要推到一般的情形去，那么，第六图这个矩形的长是：

而它的宽却是：

n+1+n=2n+1

所以它的面积就应当是：

这就可证明：

比如，我们要求的是从1到10十个整数的平方和，n就等于10，这个和便是：

说到第三个例子，因为是数的立方的关系，照通常的想法，只能用立体图形来表示，但若将乘法的意义加以注意，用平面图形来表示一个立方，也不是完全不可能。先从23说起，照原来的意思本是3个2相乘，若用式子写出，那就是2×2×2。这个式子我们也可以想象成（2×2）×2，这就可以认为它所表示的是2个2的平方的意思，可以画成第七图的A，再将形式变化一下，可得出第七图的B。

同样地，33可以用第八图的A或B表示，而43可以用第九图的A或B表示。

第八图