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十王老头子的汤圆（第1页）

十、王老头子的汤圆

一

近来有一位幼年时的邻居，从家乡出来的，跑来看望我。见到故乡人，想起故乡事，屈指一算，离家已将近二十年了，记忆中故乡的模样，还是二十年前的。碰见这么一位幼年朋友，在心境上好像已返老还童，一直谈论幼年的往事，石坎缝儿里寻蟋蟀，和尚庙中偷桂花，一切淘气事都会谈到。最后不知怎的，话头却转到死亡上去了，朋友很郑重地说出这样的话来：

——王老头子，卖汤圆的，已死去两年了。

一个须发全白、精神饱满、笑容可掬的老头子的面影，顿时从心底浮到了心尖。他叫什么名字，我不知道，因为一直听人家叫他王老头子，没有人提起过他的名字。从我自己会走到他的店里吃汤圆的时候起，他的头上已顶着银色的发，嘴上堆着雪白的须，是一个十足的老头子。祖父曾经告诉我，王老头子在我们的那条街上开汤圆店已有二三十年。祖父和许多人都常说，王老头子很古怪，每天只卖一盘子汤圆，卖完就收店，喝包谷烧1，照例四两。他今天卖的汤圆，便是昨天夜里做的。真的，当我起得很早的时候，要是走到王老头子的店门口，就可以看见他在升火，他的桌上有一只盘子，盘子里堆着雪白、细软的汤圆，用现在我所知道的东西的形状来说，那就有点儿像金字塔。假如要用数学教科书上的名字，那就是正方锥。

王老头子自然是平凡、不足树碑立传的人，不过他的和蔼可亲却是少有。我一听到他的死耗，不禁怅惘追忆，这也就可以证明他是如何捉住儿童们的活泼、无邪的心了。王老头子已死两年，至少做了四五十年的汤圆。在这四五十年中，每天都做尖尖的一盘。这他一生替人们做过多少汤圆哟，我想替他算一算。然而我不能算，因为我不曾留意过那一盘汤圆从顶到底共有多少层，我现在只来说一说，假如知道了它的层数，这总数怎么计算，可作为对王老头子的纪念。

二

这类题目的算法，在西洋数学中叫作积弹（PilesofShot）和拟形数（Figuratenumbers），又叫拟形级数（Figurateseries）。中国叫垛积，旧数学中和它类似的算法，属于“少广”一类。最早见于朱世杰的《四元玉鉴》中茭草形段，如像招数和果垛叠藏各题，后来郭守敬、董祐诚、李善兰这些人的著作中把它讲得更详细。

这里我们先说大家从西洋数学中容易找到的积弹。积弹的计算法，已有一定的公式，因为堆积的方法不同，分为四类：如第一图各层是成正方形的；第二图各层是成正三角形的；第三图是成矩形的——这三种到顶上都是尖的——第四图各层都成矩形，而顶上是平的。用数学上的名字来说，第一图是正方锥；第二图是正三角锥；第三图侧面是等腰三角形，正面是等腰梯形；第四图侧面和正面都是等腰梯形。

第一图

第一图

第三图

第四图

所谓积弹，一般是知道了层数计算总数，在这里且先将各公式写出来。

（1）设n表示层数，也就是王老头子的汤圆底层每边的个数，则汤圆的总数是：

所以，若是王老头子的那盘汤圆有十层，那就是n等于10，因此，

（2）若王老头子的汤圆是照第二图的形式堆，那么，

所以，他若是也只堆十层，总数便是：

（3）这一种不但和层数有关系，并且与顶上一层的个数也有关系，设顶上一层有p个，则

举个例说，若第一层有五个，总共有十层，就是p等于5，n等于10，则

（4）自然这种和第一层的个数也有关系，而第一层既然也是矩形，它的个数就和这矩形的长、阔两边的个数有关。设顶上一层长边有a个，阔边有b个，则

举个例说，若第一层的长边有五个，阔边有三个，总共有十层，就是a等于5，b等于3，n等于10，则

不用说，已经有公式，只要照它计算出一个总数，是很容易的。不过，我们的问题是这公式是怎样得来的。

要证明这公式，有三种方法。

三

第一就说数学的归纳法的证明。

什么叫数学的归纳法，在堆罗汉中已经说过，这里要证明的第一个公式，也是那篇里已证明过的。为了那些不曾看过那篇的读者，只好简略地说一说所谓数学的归纳法，总共含有三个步骤：

（Ⅰ）就几个特殊的数，发现一个共同的式子。

（Ⅱ）假定这式子对于n是对的，而造出一个公式来。

（Ⅲ）设n变成了n+1，看这式子的形式是否改变。若不曾改变，那么，这式子就成立了。

因为由（Ⅱ）已经知道这式子关于n是对的，关于n+1也是对的。而由（Ⅰ）已知它关于几个特殊的数是对的——其实有一个就够了。不过（Ⅰ）只由一个特殊的数要发现较普遍的公式的形式比较困难——设若关于2是对的，那么关于2加1也是对的。2加1是3，关于3是对的，自然关于3加1“4”也是对的。这样一步一步地往上推，关于4加1“5”，5加1“6”，6加1“7”……就都对了。

以下就用这方法来证明上面的公式：

王老头子的汤圆的堆法，各层都是正方形，顶上一层是一个，第二层一边是二个，第三层一边是三个，第四层一边是四个……这样到第n层，一边便是n个。而正方形的面积，这是大家都已经知道的，等于一边的长的平方。所以若就各层的个数说，王老头子每夜所做的汤圆便是：

第一步我们容易知道：

第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：