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四从数学问题说到我们的思想（第2页）

三角形一边的平方等于它两边的平方的和，加上，这两边中的一边和它一边在它上面的射影的乘积的二倍。

若用式子表示，那就是前面的第二个：

照上面别人的吩咐，若A是直角，DA等于零，所以式子右边的第三项没有了；若A是钝角，DA是正的，第三项也是正的，便要加上前面两项的和；若A是锐角，DA是负的，第三项也是负的，便只好减去前面两项的和。

到了这一步，毕达哥拉斯的定理算是很普遍、很单纯了。记起来便当，用起来简单，依据它要往前进展自然容易得多。

上面只是讲到几何方面的进展，以下再来讲数论方面的，这和图没有关系，所以我们先将它用简单的式子写出来，就是：

从这个式子，可以发现许多有趣味的问题，比如x、y、z若是相连的整数，能够合于这个式子的条件的，究竟有多少呢？所谓相连的整数就是后一个比前一个只大一的，假如我们设y的数值是n，x比它小1，就应当是n减1，z比它大1，就应当是n加1，因为它们合于这个式子的条件，所以：

将这个方程式解出来，我们知道n只能等于0或4，而y等于0，x是负1，z是正1，这不是三个连续数。所以y只有等于4，x只有等于3，z只有等于5。真巧极了，这便是中国的老数学书上的“勾三股四弦五”的说法！我们的老祖宗真比我们聪明得多！

由别的方面，若x、y、z都是整数，也还有许多性质可以研究，而且都是很有趣的，但这里不是编数学讲义，所以暂且不谈。

掉过方向，不管x、y、z，来看它们的指数，若那指数不是2而是n，那式子就是：

n若是比2大的整数，x、y、z就不能全都是整数而且还没有一个等于零。

这是数学上很有名的费马的最后定理（LederhéorèmedeFemat）。这个定理是在十七世纪就说出来的，可惜他自己没有将它证明。一直到了现在，研究数学的人，既举不出反证来将它推翻，也还是找不出一般的证明法。现在只做到了这一步，n在一百以内，有了一些特殊的证法。

关于数学的话，说起来总是使看的人头痛，不知不觉就写了这一大段，实在很抱歉，就此不再说它，转过话头吧！我的本意只想找点儿例子来说明，我们的思想若只向着特殊的范围去找精明、巧妙的法则，不向普遍的、开阔的方面发展，结果就不会有好的、多的收获。前面所举的例子，将我们自己去和别人比较，就可以看出来，由于思想前进的方向不同，我们实在吃亏不小。现在有些人提着嗓子高喊提倡科学，说到提倡科学，当然不是别人有了飞机，我们也有几个人会架着兜几个小圈子就算完事的，也并不是跟着别人学造牙刷、牙膏就可算数的。真正要提倡科学，不但别人现在已经知道的，我们都应该有人知道，而且还要能够和别人排着队向前走，这才没有一点儿惭愧！然而谈何容易！

照我的蠢想法，倒觉得大炮、毒瓦斯那些杀人的家伙，我们永世不会造也好，多有些人会造，其结果自然是棺材铺打牙祭，要的是人死。我们不会造，借此也可以少作些孽。就是牙膏、牙刷、汽车、电灯，暂时造不好，反正别人造出来总会争着卖给我们用的，所以也没有什么。请不要误会，以为我是不顾什么国计民生，甘心替什么帝国主义、资本主义当奴隶！真喜欢当奴隶，会造牙膏、牙刷，也好去当，也许当起来更便当些！你只要看所谓奴隶、走狗之流总是新人物比旧人物来得多，就可以恍然大悟了！

究竟，西洋人现在闹得声势浩大的所谓文明，所谓科学，也不过二百来年努力的结果。现在谢谢他们，地球总算因为他们而缩小了，兜一个圈子不过一个多月，只要不经过中国的内地。所以他们有点什么花头，也瞒不了我们。可以说一句乐观的话，西洋人毕竟只有那么多，我中国人马马虎虎说也有四亿，从现在就努力，客气点儿，五十年，不怕不会翻筋斗。然而所谓努力者，从哪里起手呢？提倡科学！提倡科学！这是不容怀疑的！所谓提倡科学，究竟是怎么一回事呢？第一要紧的是要培养科学的头脑！

什么是科学的头脑？呀！要回答吗？一、两句话固然说不完，十百句话又何尝一定说得完呢？若只就我所及来回答，第一步就是思想的进展的抽象的能力。有了这抽象的能力，在百千纷纭繁杂的事象中，自然可以找出它们的普遍的法则来支配它们，叫它们想逃也逃不了。但是这样的能力我们多么缺乏啊！

有人说，中国人的抽象能力，实在够充足了。所以十二三岁的小学毕业生，就会想到人生观、宇宙观，那些大问题上面去，而且不用一两年，就会颓废、消极、悲观……这个事实，本是很明显地摆在人们眼前的，我一点儿没有忘了它。不过这样的抽象，假如算抽象的话，那么我这里所说的抽象，字面上虽没有两样，本质却有些不同。怎样地不同，大概应略加以说明了吧！

这里所说的抽象，是依据了许多特殊的事例去发现它们的共同点。比如说，先有了一个鸡兔同笼那样的题目，我们居然找出了一个法则来计算它。我们固然很高兴、很满足了，我们却不可到此止步，我们应当找一些和它相类似的题目来把我们所找出的法则推究一番。我们用了那八方桌和六方桌的例子检查出我们从小说上得来的方法，需要加些条件进去，才能解决我们的新问题。最初一折半后，一减就可得到答数，后来，却没有这么简单。这是为什么呢？那就是因为最初碰到的一个例子，具有一个特殊的条件，我们就是将计算的步骤忽略了一段也没有什么关系，所以原来的可以简单。对于一般的例子来说，只好算是偶然的。偶然的机会，在特殊的事象中，都包含在内，所以要除掉它，只有多收集一些特殊事实来比较。有一个鸡兔同笼的题目，有一个八方桌和六方桌的题目，又有一个一百和尚吃馒头的题目，若再去寻，比如还有一个题目是：十元钞票和五元钞票混在一只袋里，总共是十张，值八十块钱，求每种几张。将这四个题目并在一起，我们再去研究所要求的方法，一定可以得出一个较普遍的法则来。这不过是用来做例，我们所要求的方法，并不是只要能对付一类的题目就可以满足的。有了这种方法以后，我们还得将题目改变一下，弄复杂些，进一步再求出更普遍的法则。说到这里，关于鸡兔同笼这一类的题目，数学教科书上四则问题中所给我们的也就不是真正的普遍，假如在笼子里的不只兔子和鸡，还有别的三只脚、五只脚的东西，它一样不够用，于是我们又有了混合比例的法则。实实在在，这一类的题目，混合比例的说明才是普遍的、根本的。

平常我们很喜欢想大题目，同时又不愿注意到一个一个的特殊的事实，其结果只是让我们闭着眼睛去摸索、武断。大家既丢开了事实不提，又可以说出一些无法对证的道理来。然而，真是无法对证吗？决不是这样，遇到了脚踏实地的人，就逃不过他的手。倘使我们整天只关在屋子里，那么你说地球是方的也好，你说它是圆的也好，就算你说它是三角的、五角的，也没有什么不好。但若是有一天你居然走出了大门，而且走得还很远，竞走到了前面就是汪洋大海的地方，你又看到有些船开到远处去，有些船从远处开来，你就会觉得说地球是三角的、五角的、方的都不对，你不得不承认它是圆的。这，就和真相接近了。走出大门和关在屋子里极大的不同，就是接触的事象一个很复杂，一个却很简单。

真正的抽象是要根据事实的，根据的事实越多，所去掉的特殊性也随之更多，那么留存下来的共通性自然越是普遍了。所谓科学精神就是耐心去搜寻材料，静下心来去发现它们的普遍法则。所谓科学的头脑，就是充满精神的头脑！可惜我们很缺乏它！

指南针是中国人发明的，不错，中国人很早就知道了它的用场！但若要问：它为什么老是指着南方？我们有什么理由可以相信它决不会和我们开玩笑，来骗我们一两回？究竟有几个回答得出来。

中国的瓷器呱呱叫，这也不错，中国的瓷器成色不错，而且历史也很悠久！但若要问：瓷器的釉是哪几种原素？“原素”这个名字，已够新鲜了，还要说有多少种？

这些都是知其名而不知其所以然，大概批评得很对。但是，我们得小心了！凡事都只知其然，而不知其所以然，那所知的也就很不可靠！即或居然可以措置裕如，也只好算是托天之福！要想使它进步、发展，都不是靠知其然就行的。

有一次，我生点儿小毛病，去找了一个西医看，他跟我说，没有什么要紧，叫我去买点儿大黄吃。我买了大黄回到家里，碰巧一位儒医朋友来了。他和我很要好，见我拿着大黄回去，他就问我为什么要吃大黄，又问我是找什么人看的。我一一告诉了他，他那时还我的一副脸孔，我现在记得还很清楚，无异于向我说：“西医也用中国药！”他一面好像感到骄傲，一面就更看轻西医。然而我总有这样的偏见，就是中国药，儒医叫我吃，我十之八九不敢去试。我很懂得中国医生用的药，有些对于病是具有特殊的效力的。然而它为什么有那样的效力？和它治的病有什么关系？吃到肚里为什么能将病治好？这总没有人能够规规矩矩地用人话回答得上来。我哪里肯用我的生命去尝试呢？

人家也常常这样说，中国医生是靠经验，几代祖传儒医之所以可靠，就是因为他不但有自己的经验，还延续了祖宗的。所谓经验，不过是一些特殊事实的堆集。无论它堆得怎样高大，总没有什么一贯的联系，要普遍地将它运用，哪儿能不危险呢？倘使中国的儒医具有一种抽象的能力，对于它们所使用的灵方，能够找出它的所以然来，不但对于治病真有把握，而且随时可以得到新的发展！

像数学那样缺少一般的所谓实用价值的东西，像指南针、瓷器那样的最切实用的东西，又像那医药人命攸关的东西，无论哪一样，我们中国几千年来，凭借的只是祖传和各自的零碎的经验，老实说，真有些费力不讨好了！这些哪一件不是科学的很好的对象？自然，我们尽管叫喊着提倡科学，提倡科学，科学最终没有提倡起来，这不能不说是我们的脑子有一点儿什么缺陷吧！

话说得有点儿语病了，也许要得罪人了，必须补足几句。所谓脑子有一点儿什么缺陷，不是说中国人的脑子先天就不如人，不过是说，后天的使用法。换句话，就是思想前进的方向有些两样。假如大家能够掉转方向，那么，我们的局面也就会大大改变了！

因为我们缺乏抽象力，不但系统的科学、系统的哲学不能产生，就在日常生活中，我们也吃尽苦头！最显而易见的，就是在生活上，我们很少能从事实中得到教训，让我们有一两条直路走。别的姑且不谈，单看我们这十几年来过的日子，和我们在这日子中的态度。甲军阀当道，我们焦头烂额地怨恨，天天盼望他倒下来。趁这机会，乙军阀就取而代之，我们先是高兴，但不到几天乙就变成甲的老样子。我们不免又焦头烂额地怨恨他，天天盼望他倒下来。趁这机会，丙军阀又取而代之，老把戏换几个角色又来一套。这样一套又一套，只管重演，我们得到了什么出路了吗？

多么有趣味的把戏呀！啊！多么有趣味的把戏呀！乙军阀、丙军阀，难道他们真的那么蠢，全不知道甲军阀、乙军阀所以会倒的原因吗？我们为什么又这样呆，靠甲不行，想靠乙，靠乙不行，又想靠丙呢？原来乙、丙是这样想的，他不行，我和他不一样，所以他会倒我总不会倒。我们对于乙、丙，也是这样想的，甲不行，乙、丙总比他好一点儿。行！好一点儿！从哪儿看来的？为什么我们不想一想，军阀有一个共通性格，这性格对于他们自身是叫他们没有长久的寿命，对于我们就叫我们焦头烂额！无论什么人只要戴上军阀的帽子，那共通性就像紧箍咒一般套在他的头上，就会叫人焦头烂额，叫自己倒下来。

我们没有充分的抽象力量，不能将一些事实聚在一块，发现它们真正的因果关系。因而我们也找不出一条真正趋吉避凶的路！于是我们只好踉踉跄跄地彷徨！我们只好吃苦头，一直吃下去！

苦头若是已经吃够了，那么，好，我们就应当找出之所以吃苦头的真实的、根本的原因。然而要发现这个，全要凭借我们的思想当中的抽象力！这是多么不幸！偏偏我们很缺少它！