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四无限小的变数诱导函数（第1页）

四、无限小的变数——诱导函数

现在还是来说关于运动的现象。有一条大路或是一条小槽，在那条路上有一个轮子正转动着，或是在这小槽里有一个小球正在滚动着。倘若我们想找出它们运动的法则，并且要计算出它们在进行中的速度，比前面的还要精密的方法，究竟有没有呢？

将就以前说过的例子，本来也可以再讨论下去，不过为着简便起见，我们无妨将那个例子的特殊情形归纳为一般的情况。用一条线表示路径，用一些点来表示在这路上运动的东西。这么一来，我们所要研究的问题，就变成一个点在一条线上的运动的法则和这个点在进行中的速度了。

索性更简单些，就用一条直线来表示路径：这条直线从O点起，无限地向着箭头所指示的方向延伸出去。

在这条直线上，依着同一方向，有一点P连续地运动，它运动的起点也就是O。对于这个不停运动的P点，我们能够求出它在那直线上的位置吗？是的，只要我们知道在每个时间t，这个运动着的P点间隔O点多远，那么，它的位置也就能确定了。

和之前的例子一样，连续运动在空间的径路是时间的一个连续函数。

先假定这个函数是已经知道了的，不过这并不能解决我们所要讨论的问题。我们还不知道在这运动当中，P点的速度究竟是怎样，也不知道这速度有什么变化。经过我这么一提醒，你将要失望了，将要皱眉头了，是不是？

且慢，不用着急，我们请出一件法宝来，这些问题就迎刃而解了！这是一件什么法宝呢？以后你就知道了，先只说它的名字叫作“诱导函数法”。它真是一件法宝，它便是数学园地当中，挂有“微分法”这个匾额的那座亭台的基石。

“运动”本来不过是从时间和空间的关系的变化出来的。不是吗？你倘若老是把眼睛闭着，尽管你心里只是不耐烦，觉得时间真难熬，有度日如年之感，但是一只花蝴蝶在你的面前蹁跹地飞着，上下左右地回旋，你哪儿会知道它在这么有兴致地动呢？原来，你闭了眼睛，你面前的空间有怎样的变化，你真是茫然了。同样地，倘使尽管空间有变化，但你根本就没有时间感觉，你也没有办法理解“运动”是怎么一回事！

倘若对于测得的时间t的每一个数，或者说得更好一些，对于时间t的每一个数值，我们都能够计算出距离d的数值来，这就是某种情形当中的时间和空间的关系的变化已经被我们知晓了。那运动的法则，我们自然而然也就知道了！我们就说：距离是时间的已知函数，简便一些，我们说d是t的已知函数，或者写成d=f（t）。

对于你的小弟弟在大门外地上爬的例子，这公式就变成了d=5t。另外随便举个例子，比如d=3t+5，这时就有了两个不同的运动法则。假如时间用分钟计算，距离用米计算。在第一个式子中，若时间t是10分钟，那么距离d就得50米。但在第二个式子中，d=3t+5所表示的是运动的法则，10分钟的结尾，那距离却是d=3×10+5，便是距出发点35米。

来说计算速度的话吧！先须得注意，和以前说过的一样，要能计算无限小的变动的速度，换句话说，就是要计算任何刹那的速度。

为了表示一个数值是很小的，小得与众不同，我们就在它的前面写一个希腊字母Δ（delta），所以Δt就表示一个极小极小的时间间隔。在这个时间当中，一个运动的东西所经过的路程自然很短很短，我们就用Δl表示。

现在我问你，那P点在时间Δt的间隔中，它的平均速度是什么？你没有忘掉吧！运动的平均速度等于这运动所经过的时间去除它所经过的距离。所以这里，你可以这样回答我：

这个回答一点儿没错，虽然现在的时间间隔和空间距离都很小很小，但要求这个很小的时间当中，运动的平均速度，还是只有这么一个老法子。

平均速度！平均速度！这平均速度，一开始不是就和它纠缠不清吗？不是觉得对于真实的运动情形，无论怎样都表示不出来吗？那么，在这里我们为什么还要说到它呢？不过，因为时间和空间所取的数值都很小的缘故，所以这里所说的平均速度很有用。要得出真实的速度而非平均的，要那运动只是一刹那间的，而非延续在一个时间间隔当中，我们只需把Δt无限制减小下去就行了。

我们先记好了前面已经说过的连续函数的性质，因为在一刹那t，运动的距离是d，在和t非常相近的时间，我们用t+Δt来表示，那么，相应地就有一个距离d+Δd和d也就非常相近。并且Δt越减小，Δd也跟着越小。

这样一来，我们所测定的时间，当它的数目非常小，差不多和零相近的时候，会得出什么结果呢？换句话说，就是时间t近于0的时候，这个?l?t的比却变得很微小。因为前项Δl和后项Δt虽在变动，但它们的比差不多一样。

对于平均速度?d?t，因为Δt同Δd无限减小，最终就会到达一个和?t定值v相差几乎是零的地步。关于这种情形，我们就说：“当Δt和Δd近于0的时候，v是?d?t的比的极限（limite）。”

?d?t既是平均速度，它的极限v就是在时间的间隔和相应的空间都近于零的时候，平均速度的极限。

结果，v便是在一刹那t动点的速度。将上面的话联合起来，可以写成：

找寻?d?t的极限值的计算方法，我们就叫它是诱导函数法。

极限值v也有一个不大顺口的名字，叫作“空间d对于时间t的诱导函数”。

有了这个名字，我们说起速度来就便当了。什么是速度？它就是“空间对于一瞬的时间的诱导函数”。

我们又可以回到芝诺的“飞矢不动”的悖论上去了。对于他的错误，在这里还能够加以说明。芝诺所用来解释他的悖论的方法，无论多么巧妙，横在我们眼前的事实，总是让我们不能相信飞矢是不动的。你总看过变戏法吧？你明知道，那些使你看了吃惊到目瞪口呆的玩意儿都是假的，但你总找不出它们的漏洞来。我们若没有充足的论据来攻破芝诺的推论，那么，对于他这巧妙的悖论，也只好抱着看戏法时所有的吃惊的心情了。

现在，我们再用一种工具来攻打芝诺的推论。

古代的人并不比我们笨，速度的意义他们也懂得的，只可惜他们还有不如我们的地方，那就是关于无限小的量的观念一点儿没有。他们以为“无限小”就是等于零，并没有什么特别。因为这个缘故，他们吃了不少亏，像芝诺那般了不起的人物，在他的推论法中，这个当上得更厉害。

不是吗？芝诺这样说：“在每一刹那，那矢是静止的。”我们无妨问问自己，他的话真的正确吗？在每一刹那那矢的位置是静止的，和一个静止的东西一样吗？