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03 完美的和不那么完美的数 Perfect and Not So Perfect Numbers（第2页）

有了这些发现，你可能还会认为，因为似乎不存在奇完美数，所以很可能也不存在奇盈数。换句话说，进一步的猜想可能变成了所有奇数都是亏的。倘若计算前几百个奇数的真因数和，似乎可以确证这一理论，但是这个说法最终还是被发现是错的。检验一下945，它的真因数和为975。现在，洪水的闸门被打开了，因为一个盈数的任意倍数都是盈的，所以945的奇数倍立刻给我们提供了无穷多奇盈数。

比起不假思索地逐个检验奇数，要是我们再精明一点的话，可能会更快地发现这个反例。要想一个数有很大的真因数和，它需要很多因数，其中还要包含大因数，这些大因数又是由小因数配对在一起产生的。于是我们可以通过将小素数乘起来构造具有大真因数和的数。如果我们只关心奇数，那么我们应该看由前几个素数——3，5，7等——构成的乘积。这个粗略的准则会很快使你检验到33×5×7=945，于是你也就在奇数中找到了盈性。

有时我们会发现，具有某些性质的数里，最小的也有很大的值，这种情况并不少见。尤其是当想找的数需要有某种因数结构，这种结构是由你想要的性质决定的。于是那个最小的数可能极其大，不过如果我们在求解过程中利用给定的性质的话，它并不一定很难找到。这种数谜的一个例子是找到一个数，它既是一个立方数的5倍，又是一个五次方数的3倍。答案是

7119140625=5×11253=3×755。

不过，并不难看出，为什么最小的答案都有数十亿这么大的值。任何解n都得是3r5sm这样的形式，r和s是正幂次，剩下的素因数被归总在整数m里，m不能被3或5整除。如果我们首先关注r的可能取值，可以观察到，由于n是一个立方数的5倍，指数（expo）r一定是3的倍数。同时由于n是一个五次方的3倍，数r-1必为5的倍数。同时满足这两个条件的最小r是r=6。同样的，指数s一定是5的倍数，而s-1必须是3的倍数，最小的可行的s是s=10。为了让n越小越好，我们取m=1，因此n=36×510=3（3×52）5=3×755，于是n确实是一个五次方的3倍。同时n=5（32×53）3=5×11253，所以n也是一个立方数的5倍。

一个更极端的例子是著名的牛群问题（），它是由古代最伟大的数学家阿基米德（Archimedes）提出的。但直到19世纪这个问题才被解决。要满足最初的44行诗中提出的所有限制条件，最小的牛群数量是一个超过200000位的数!

上面这些讨论给了我们一条警示，那就是只有我们进入非常大的数的领域，数才会展示出它们全部的多样性。出于这个原因，仅仅是不存在少于300位的奇完美数这个事实，并不能说明它们“很可能”不存在。当然，假如真有一个出现了，这个领域内第一流的专家们也会大吃一惊。

让我们再次回到真因数和数列的一般行为这个话题上。我们还可以提出一些简单的问题，却仍然没有人回答得了。真因数和数列可能的情形有哪些？如果这个数列遇上一个素数，那么在这之后它将立即终止于1，其实它也不会以任何其他方式终止。如果这没有终止，这个数列可能是循环的，从而代表了一组多亲数。但是，还有另外一种与之相关的可能性，我们可以通过计算95的真因数和来揭示：

95=5×19→（1+5+19）=25

=5×5→（1+5）=6→6→6→…。

在这个例子里，虽然95本身不是一个多亲数，但它的真因数和数列最终碰到一个多亲数（更准确地说是完美数6），接着进入了一个循环。

可以设想，还存在一种可能性：一个数的真因数和数列永不遇见一个素数或多亲数。此时，这个数列必然是一个由不同数组成的无穷数列，其中没有一个是素的或多亲的。这可能吗？令人吃惊的是，没人知道。更惊人的是，存在一些小的数，它们的真因数和数列竟然还是未知的（因此它们可能拥有此类无穷真因数和数列）。这些谜一样的数中的第一个是276，它的真因数和数列由以下的数开始：

276→396→696→1104→1872→3770

→3790→3050→2716→2772→…。

但是没有人确切地知道它最后会变成什么样。

这与前面列出的276的真因数和数列的第二项相等。

对于与真因数和函数具有某种关系的数n，只需要通过给它们起个名字，我们便可以引入无穷多类的数。就像之前提到的，当a（n）=n时n是完美的，当a（n）＞n时n是盈的。一个半完美数（semiperfeumber）n是等于自己部分真因数（小于n）之和的数，因而由定义可以推出，所有半完美数不是完美的就是盈的。比如，18是半完美的，因为18=3+6+9。当一个数是盈数但不是半完美的，它被称作奇异的（weird），最小的奇异数是70。

你可能会认为，这个话题变得过于琐碎了——将名称冠予任意定义的数的类型，这举动确实不能让数字变得有意思，我们应该懂得在什么地方收手。话虽如此，要注意处理这些新问题背后的策略，还是欧几里得和欧拉展示给我们的关于完美数的那一套。回忆一下，欧几里得证明的是如果一个梅森数是素数，那么另一个数就是偶的且是完美的。欧拉则证明了反过程，所有偶完美数都是由这一途径产生的。在公元9世纪，波斯数学家塔比特·伊本·库拉（ThabitibnQurra）对于任意数n引入了一个三元数组，如果数组里的数都是素数，就可以构造一对相亲数。塔比特的构造方法在18世纪被欧拉进一步推广，但即便这个加强版公式似乎也只能产生一部分相亲数对，还有很多相亲数不能由这个构造产生。（现在已知差不多1200万对相亲数。）到了现代，克拉维茨（Kravitz）给出了奇异数的一种基于素数的构造方法。这个公式成功找到了一个很大的有五十多位的奇异数。

本章和前一章是为了通过各种各样的实例，让读者朋友熟悉自然数的因数和因数分解。自然数也叫作正整数（positiveintegers）。这将帮助你为下一章做好准备，你将了解那些思想如何被应用于当代密码学（cryptography）——关于秘密的科学。

[1]　又称完全数或完备数。

[2]　2018年12月21日，已知的最大素数已更新为282589933-1。有兴趣的读者可以参阅GIMPS项目官方网站https:。mersenne。。

[3]　又称亲和数、友爱数、友好数。

[4]　素数幂即单一素数的正整数次方。