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08 并非我们熟知的数 Numbers but Not As We Know Them（第1页）

08并非我们熟知的数hem

实数和复数

我们会很想把这些关于特定方程的烦恼都丢在一边，直接声称我们已经知道实数是什么了——它们是所有可能的小数展开式组成的集合，包括正的和负的。这我们已经很熟悉了，在实际应用中大家也知道如何运用它们，因此我们觉得自己的位置是坚实的——至少在我们开始问一些很基本的问题之前。数的主要特点在于你可以加、减、乘和除。但是，举例来说，你怎样才能将两个无限不循环小数相乘呢？我们指望小数的长度有限，然后你就可以“从最右端开始”，但对于无限小数来说没有这样的东西。其实这是可以做到的，不过从理论和实际操作上讲它都很复杂。如果你解释如何加和乘都非常困难的话，这个数的系统似乎就不够令人满意。

你也许会觉得上面所提出的基本问题耐人寻味，或者你会对我们的自省感到不耐烦。毕竟，之前所有的航程都是一帆风顺的，我们似乎是在自找麻烦。但有一点是无法忽视的。数学家们认为，任何时候我们引入新的数学对象，重点是要从已知对象出发再构造它们，就像分数可以被看作一对普通整数。这样，我们能够仔细地定义新推广的系统所遵循的规则，从而了解自己所处的位置。倘若我们完全忽视基础，日后它便会出来找麻烦。例如，微积分学脱胎于对运动的研究，它发展得极快，并且获得了光辉的成就，比如预测行星的轨道。然而，像对待有限事物一样处理无限事物，有时候能赋予我们惊人的洞察力，有时候却完全没有意义。将数学系统建立在坚实的基础上，我们就能学会如何分辨真假。在实践中，数学家们经常沉迷于“形式化”（formal）的操作，这是为了能看清远方的海面上是否会浮现出崭新的定理。要是结果值得注意，我们就可以通过回溯基本概念和引用已经恰当地建立起来的结果，来严格地证明它。

这就是为什么尤利乌斯·戴德金（JuliusDedekind）要不辞辛苦形式化地构造实数系。现在，我们将他的思想称为实数轴的戴德金分割（Dedekindcuts）。不过，对于无理数存在性导致的两难问题，第一个成功提出解决方案的数学家是尼多斯的欧多克索斯（Eudoxusofidus，他活跃于公元前380年）。借助于他所著的《比例论》（TheoryofProportions），阿基米德使用所谓的穷竭法（MethodofExhaustion）严格地推导出了弯曲形状的面积和体积，而这比微积分的发明早了大约1900年。

数的最后一块拼图——虚数单位

复数的算术可以在复平面（plexplane）内清楚地表示。我们将复数a+bi看作坐标平面内的点（a，b）。当我们将两个复数z=（a，b）和w=（c，d）相加时，我们只是将它们的第一和第二个元素分别相加，这给我们z+w=（a+c，b+d）。如果我们使用符号i，那么举个例子，我们就有（2+i）+（1+3i）=3+4i。

这对应于平面上的向量和（vectoraddition），也就是有向线段（向量）首尾相加在一起（见图13）。在这个例子里，我们从坐标为（0，in）开始到点（2，1）结束，画下第一个箭头。要加上（1，3）代表的数，我们从点（2，1）开始再画一个箭头，表示在水平方向（即实轴的方向）向右移动1个单位，以及在竖直方向（即虚轴的方向）向上移动3个单位，最终到达坐标为（3，4）的点。用几乎同样的方法，我们可以通过实部和虚部分别相减来定义复数的减法。因此例如，（11+7i）-（2+5i）=9+2i。这可以看作从向量（11，7）开始，减去向量（2，5），在点（9，2）结束。

乘法就是另外一回事了。形式上说很容易：我们通过把括号拆开将两个复数相乘，记住i2=-1。假设乘法分配律（DistributiveLaw）仍然成立，这让我们能用通常的方法打开括号，那么乘法如下：

（a+bi）（c+di）=a（c+di）+bi（c+di）

=ac+adi+bci+bdi2=（ac-bd）+（ad+bc）i。

我们可以用一般化的复数，而不是具体的数值，来将复数相除的结果表示成普适的形式，它由两个数的实部和虚部构成，就像我们在复数乘法中做的一样。不过，只要理解了这一技巧，我们就不一定非要推出并记住最后的公式了。

我们如果把坐标系从普通的直角坐标转换成极坐标（polarates），就会发现乘法有了一种几何解释。在这个系统中，一个点z依然由一个有序数对所确定，我们将其写作（r，θ）。数r是从原点O，在这里叫作极点（pole），到我们的点z的距离。因此r是一个非负的量，所有具有相同r值的点形成一个圆心在极点、半径为r的圆。我们用第二个坐标θ来表示z在这个圆上的位置，θ是从实轴到Oz这条线逆时针方向走过的角度。数r称为z的模（modulus，复数形式为moduli），而角度θ称作z的辐角（argument）。

假设现在我们有两个复数，z和w，它们的极坐标分别为（r1，θ1）和（r2，θ2）。我们发现，它们的积zw的极坐标有一个简单美妙的形式。组合的规则甚至可以用日常语言清晰地表述出来：积z的辐角为z和w的辐角之和。用符号表示，zw的极坐标为（r1r2，θ1+θ2）。实数的乘法包含在这个更一般的规则里：比如，一个正实数r拥有极坐标（r，0）。如果我们乘上另一个数（s，0），结果是意料之中的（rs，0），对应于实数rs。

这个表示方式能够更充分地体现复数乘法的特点。复数单位i的极坐标是（1，90°）。通常，在这些情况下，我们并不用度数来度量角，而是用自然的数学单位弧度（radian）：一个圆有2π弧度，因而转动一弧度相当于沿着中心在原点的单位圆的周长移动一个单位。一弧度大约是57。3°。假设我们现在取任意复数z=（r，θ），乘以i=（1，90°），我们发现zi=（r，θ+90°）。也就是说，乘以i相当于绕着复平面的中心旋转一个直角。再换个说法，直角，这个最基本的几何思想，可以用一个数来表示。

的确，若是将复平面的一个给定区域内的所有点加上或乘以一个复数z，这一效果可以用几何方法来表示。想象平面内任意一个你喜欢的区域，如果给区域内的每一点都加上z，我们就只是将每个点都往同一个方向移动相同的距离，这个方向和距离是由z代表的箭头——或者我们经常说的向量——来决定的。也就是说，我们将这个区域平移（translate）到平面上的另一个位置，而它的形状、大小和姿态都保持不变，这里姿态不变是指该区域没有经过任何旋转或反射。但是，将你的区域中每个点都乘以z=（r，θ）则有两个效果，一个由r引起，另一个由θ造成。区域内每个点的模都增大r倍，因此该区域的所有尺寸也都增大了r倍（因而它的面积乘了因数r2）。当然，如果r＜1，那么我们最好把这个“扩张”描述成收缩，因为新的区域会比原来的小。不过，区域将保持它的形状——例如，一个三角形会被映射为一个相似的三角形，它的各个角和以前一样大。θ的作用就像我们上面已经解释过的，是将区域沿逆时针方向绕极点转过角度θ。那么，将你的区域中所有点都乘上z的总效果是扩展区域，并绕极点旋转。新的区域将和之前的有同样的形状，但取决于r的大小，会有不同的尺寸，同时将会有一个不同的姿态，这是由旋转角θ决定的。

其他结果

复数有极多的应用，甚至是在很基础的层次上。直角坐标和极坐标的相互转换将三角函数引入了进来，这种应用方式既令人惊讶又有很多优点。例如，推导重要的三角恒等式是一道标准的学生习题，而在用了极坐标后这些等式是十分自然的结论，取任意单位模（即r=1）的复数，用直角坐标和极坐标分别计算它的某次幂，令这两种形式的答案相等，这就给出了一个三角方程。

由基本的三角学可知，极坐标为（1，θ）的点的直角坐标是（θ）。如果我们现在将两个这样的复数z=θ和w=φ在直角坐标中相乘，可得：

zw=（cosθθsinφ）+i（φ+sinθcosφ）。

同样的乘法在极坐标中给出：

对比该乘积的两个版本的实部和虚部，就可以轻松得到三角学中标准的和角公式：

或者，极坐标形式的复乘法可以由这些三角公式推导出。实际上，我们在这里未经证明就给出了极坐标形式下的乘法，它通常是将三角公式应用于直角坐标形式来推导出的。