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九韩信点兵（第4页）

r1=A-a1r0=A-a1（B-t0A）=A-a1B+a1t0A

=t1A-a1B

t1=a1t0+1

r2=r0-q2r1=（B-t0A）-q2（t1A-a1B）=B-t0A-q2t1A+q2a1B

=a2B-t2A

a2=q2a1+a0

t2=q2t1+t0

r3=r1-q3r2=（t1A-a1B）-q3（a2B-t2A）

=t3A-a3B

a3=q3a2+a1

t3=q3t2+t1

…………………………

∴rn=anB-tnA

an=qnan-1+an-2

tn=qntn-1+tn-2

但rn=1

∴1=anB-tnA

就是anB=tnA+1

有了乘率，将它去乘衍数就得用数，上面已经证明了，所以在本例题，三、五和七的用数相应地便是七十（35×2）、二十一（21×1）和十五（15×1）。

杨辉的“剪管术”中，同样的题目有好几个，试取两个照样演算于下。

（a）七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数几何？

（一）求衍数

泛母析母定母衍母衍数

77750472

88863

99956

（二）求乘率

定母7713

衍数172121241

所以乘率是4。

定母8811

衍数163171771

所以乘率是7。

定母9914

衍数156121251

所以乘率是5。

（三）求用数，就是将相应的乘率去乘衍数，所以七、八、九的用数相应地为二百八十八（72×4），四百四十一（63×7）和二百八十（56×5）。

（四）求本数，就是将各除数所除得的剩余相应地乘各用数，而将这三个乘积加起来。倘若这所得的和比七、八、九的最小公倍数五百零四大，就将五百零四的倍数减去，也就是用这最小公倍数除所得的和而求余数。