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九韩信点兵（第8页）

∴β+6=7γ，β=7γ-6

N=7z+2=7（15γ-12）+2=105γ-82

现在γ既是整数，而且不能是负的。因为它若是负的，N也便是负的，对于题目说便没有意义了。所以γ至少须是1，而

N=105-82=23

自然γ可以是2、3、4、5、6，……而N随着便是128、233、338、443、548，……但N的值虽无穷却有一个限制。

既说到代数的不定方程式，无妨顺着再说一点。

（a）解方程式3x+4y=22，x和y的值限于正整数，先将含y的项移到右边，则得

3x=22-4y

∴y=1-3α，（1）

x=7-（1-3α）+α=6+4α（2）

由（1）y既是正整数，α也是整数，所以α或是等于零或是负的，绝不能是正的。

由（2）x既是正整数，α也是整数，所以α应当是正的或是等于零，最小只能等于负1。

合看这两个条件α只能等于零或负1，而

α=0，x=6，y=1；

α=-1，x=2，y=4。

（b）解方程式5x-14y=11，x和y的值限于正整数。

移项5x=11+14y，

这里和前例也有点不同，由（1）和（2）看来α只要是正整数就可以，不必再有什么限制，所以

α=1，x=5，y=1；

α=2，x=19，y=6；

α=3，x=33，y=11；

…………

这样的解答是无穷的。

将中国的老方法和现在我们所学的新法两相比较，究竟哪一种好些，这虽很难说，但由此可以知道，一个问题的解法绝不只是一种。当学习数学的时候，能够注意别人的算法以及自己另辟蹊径去走，都是有兴味而且有益处的。中国的“求一术”不但在中国数学史上占着很重要的位置，若能发扬光大，正有不少的问题可以研究。

[附注]一个数用3去除，有三种情形：一是剩0（就是除尽），二是剩1，三是剩2。同样地，用5去除有五种情形，剩0、1、2、3、4。用7去除有七种情形，剩0、1、2、3、4、5、6。从3除的三种情形中任取一种，和5除的五种情形中的任一种，以及7除的七种情形中的任一种配合，都能成一个“韩信点兵”的题目，所以一共有3×5×7=105个题。而这105个题的最小答数，恰是从0到104这105个数，把它们排列起来可以得出下面的表。

00

1

2

3

4

5

60

15

30

45

60

75

9021