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九韩信点兵（第7页）

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由这几个例子，可以看出“韩信”的点兵不限于三三，五五，七七地数。在中国的旧数学上，“大衍求一术”还有不少的应用，不过在这篇短文里却讲不到了。

到了这一步，我们可以问：“‘韩信点兵’这类的问题在西洋数学中怎样解决呢？”

要回答这个问题，你先要记起代数中联立方程式的解法来。不，首先要记起一般联立方程式所应具的必要条件。那是这样的，方程式的个数应当和它们所含未知数的个数相等，所以二元的要有两个方程式，三元的要有三个，倘使方程式的个数比它们所含未知数的个数少，那就不能得出一定的解答，因此我们称它为不定方程式系。

两个未知数而只有一个方程式，例如，

5x+10y=20

我们若将y当作已知数看，依照解方程式的顺序来解便可，而且也只能得下面的式子：

x=4-2y

在这个式子当中任意用一个数去代y，x都有一个相应的数值，如：

y=0，x=4-2×0=4；y=1，x=4-2×1=2；

y=2，x=4-2×2=0；y=3，x=4-2×3=-2；

y=-1，x=4-2×（-1）=6；…………

y的数值既可任意地定，所以这方程式的根便是不定的。

又三个未知数，而只有两个方程式，比如：

x+y-3z=8……（1）

2x-5y+z=2……（2）

依照解联立方程式的法则，从这两个方程式可以随意先消去一个未知数。若要消去z，就用3去乘（2）而和（1）相加，便得：

6x-15y+3z+x+y-3z=6+8

7x-14y=14

再移含有y的项到右边，并且全体用7去除，就得：

x=2+2y

照前例同一的理由，这方程式中y的值可以任意选用，所以是不定的，而x的值也就不定了，x和y的值都不一定，z的值跟着更是不定，如：

y=1，x=4，代入（1）z=-1　代入（2）z=-1；

y=2，x=6，代入（1）z=0　代入（2）z=0；

………………

就这种情形推下去，联立方程式的个数只要比它们所含的未知数少，就得不出一定的解答来。

这样说起来，不定方程式系不是一点儿用场都没有了吗？这个疑问自然是应当有的，不过用场的有无实在难说。和尚拾着常州梳子自然没用，但若是江北大姐拾着，岂不喜出望外仔细考察起来，不定方程式系虽然没有一定的解答，但它却将所含的未知数间的关系加上了限制。即如第一个例子，x和y的数值虽然不定，但若y等于0，x就只能等于4；若y等于1，x就只能等于2。再就第二个例子说，也有同样的情形。这种关系倘若再得到别的条件来补充，那么，解答就不是漫无限制了，本来一个方程式也不过表示几个未知数在某种情形所具的关系，也就只是一个条件。

我们就用“韩信点兵”的问题来做例子吧。

设三三数所数的次数为x，五五数所数的次数为y，七七数所数的次数为z，而原数为N，则：

N=3x+2=5y+3=7z+2

∴3x+2=5y+3……（1）

3x+2=7z+2……（2）

这有三个未知数而只有两个方程式，但我们应当注意x，y，z都必须是正整数，这便是一个附带的条件，

∴α-1=2β，α=2β+1

∴y=α+β=2β+1+β=3β+1，

x=y+α=3β+1+2β+1=5β+2

而N=3x+2=3（5β+2）+2=15β+8，

由（2）15β+8=7z+2，∴7z=15β+6，