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六堆罗汉（第3页）

12=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

由这几个式子我们知道：

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

就这四个式子观察，我们可以得一个共通形式，就是：左边是从1起的连续奇数的和，右边是这和所含奇数的“个数”的平方。

将这形式推到一般去，假定它是对的，那就得出：

1+3+5+…+（2n-1）=n2

到了这一步，我们就要来校勘一下，这形式再往前推一个奇数究竟对不对了，我们在式子的两边同时加上（2n-1）下面的一个奇数（2n+1），于是：

1+3+5+…+（2n-1）+（2n+1）

=n2+（2n+1）=n2+2n+1=（n+1）2

从这结果，可知我们的假定如果对于n是对的，那么对于n+1也是对的。依我们的观察，我们的假设n等于1、2、3、4的时候都是对的，所以对于5，对于6，对于7、8、9……一步一步地往前推都是对的，而我们的假定可认为合于事实。

将数学归纳法来和一般的归纳法两相比较，这是一个很有趣味的问题。大体来说，它俩并没有什么根本的差异。我们还无妨说数学归纳法是一般的归纳法的一个特殊的形式，试从我们所取的步骤来比较一下。

第一步，在它俩当中，都离不了观察和实验，而观察和实验的对象也都同是一些特殊的事实。在我们前面所举的例子当中，似乎只用到观察，并没有经过什么实验。在事实上，我们所研究的对象，有些固然是无法去实验，只得单凭观察去探究的。不过这是另外一个问题。若就过程上说，我们所举的例子的第一步当中，也不是全然没有实验的意味。比如最后一个例子，我们从1=12这个式子是什么意义也发现不出来的，于是我们只好去看第二个式子1+3=22，就这个式子说，我们有许多的假定能够得出来。前面所用过的，说左边要乘方的2就是表示右边的项数，这自然是其中的一个。但我们也可以说，那指数2才是表示右边的项数。我们又可以说，左边要乘方的2是右边的末一项减去1。像这类的假定很可以找出不少的个数，至于这些假定当中哪一个近于真实些，那就不得不有别的方法来证明。到了这一步，我们无妨用各个假设到第三、第四个式子去试验一下，结果，我们便可看出，只有我们所已用过的那一个是合于实际的。一般的归纳法，最初也是这样地下手，将我们所要研究的对象尽量收集起来，仔细地去观察，遇着必要而且可能的时候，还小心地去实验。由这一步，我们就可以看出一些共同的现象来。

至于这些现象，它们从什么原因产生的？它们会生出什么结果？或是它们当中有什么关联？这，我们往往可以有若干假定提出，正和我们上一节所说的相同。在这些假定当中，自然免不了有一部分是根基极不稳固，只要凭仔细一些的观察或实验就可推翻的。对于这些，自然在这第一步我们就将它们弃掉了。

第二步，在数学归纳法，是将我们所观察得的形式推到一般去，假定它是真实的。至于一般的归纳法，因为它所研究的并不一定只是一个形式的问题，所以推到一般去的话很难照样应用。虽是这样，精神却没有什么不同，我们就是依我们观察和实验的结果，综合起来，提出一些较普遍的假设。

有了这假设，进一步自然是要校勘它们，在数学归纳法上，如前面所说过的，比较简单，只需将所假定的一般的式子当中的n推到n+1就够了。若在一般的归纳法，却没有这种便宜可讨。到了这境地，我们得利用演绎法把我们的假定当作大前题，臆测它们对于某种特殊的事象，应当发生什么结果。

这结果究竟会不会有呢？这又只得靠观察和实验来证明了。经过若干的观察或实验，假如都证明了我们的臆测是不爽分毫的，那么，我们的假定就得了保障，成为一个定理或定律。许多大科学家往往能令我们起敬吃惊，有时他们简直好像大预言家，就是他们的假定的基础很稳固，所以臆测的结果也能合于事实的缘故。

在这里，有一点须得补说明白，若我们提出的假设先不止一个，那么依了各个假设都可得出些臆测的结果来，在我们没有别的事实来证明的时候，它们彼此之间绝没有什么价值的高下可说。但到了事实出来做最后的证人时，自然“最多”就只有一个假定的臆测可以胜诉。换句话说，也“最多”就只有一个假定是对的了。为什么我还要说“最多”只有一个呢？因为，有些时候，我们所提出的假设也许全都不对的。

一般的归纳法，应用起来虽不容易，但原理却不过如此。我们经过了上面所说的步骤，结果都很好。自然我们就可得出点定理或定律来了。不过有一点须得注意，我们在一切过程中，无论怎样地小心谨慎，究竟我们的能力只有这般大，所能及到的领域终不是全体，因此我们所已证明为对的假定，即使当成定理或定律来应用，我们还得虚心。我们常常应当想到，也许有新的，我们以前所不曾注意到的现象出来否定它，我们应当承认：

“科学只能诊断事实，不能否定事实。”

这句话是什么意思呢？

科学本来只是从事实中去寻出法则来，若有了一个法则，遇见和它抵触的事实，便只武断地将这事实否定，这只是自己欺骗自己。因为事实的存在，并不能由我们空口说白话地否认，便烟消火灭的。

我还是举个例子来说，从这个例子当中，可以看出我们常有的两种态度都不大合理。

一年多以前，很远很远地听着我们中国的中西医的斗争很激烈，自然这是一个极好的现象！从这斗争中，我相信总会有些新的东西在医学界产生出来。现在的结果如何，我不曾听着说起，不敢臆断，好在和我此地要说的话无关，也就无妨丢开。我提到这个问题，只是要说明两种态度——对于中医的两种比较合理的态度。

一种是拥护的，他们所根据的是事实，毕竟中医已有了它自己几千年的历史，凭了它也曾医治好了不少人的病，这是无可否认的。虚心而真有经验的医生，对于某几种病症，也确实有把握，能够着手成春。

一种是反对的，他们所根据的是学理，无论中医在实际上有什么奇效，既没有科学根据的必然的因果说明，即使有奇效，也只好说是偶然。至于一般中医的五行生克的说法，尤其玄妙，不客气地说，简直是荒唐。

依照前一种人的意见，中医当然应当存在；依照后一种人的意见，它就该被打倒。平情而论，各有各的理由，不全是也不全非。多少免不了一些情感作用掺杂在里面。若容许我说，那么，中医有它可以存留的一部，不过须得另外打个基础；同时它也有应当打倒的部分，但并非全盘推翻。然而，这并不是根于什么中庸之道的结论。

中医既有它的一部分成功的事实，我们就应当根据学理去整理它们，找出它们的合理的说明。比如说某种汤头治某种病症是有特效的，我们一方面已从西医知道某项病症所以发生的原因和要医治它所必需的条件，那么，我们正可以分析一下那某汤头所以合于这个条件的理由。这样，自然就有合理的说明可以得出，而给它一个稳固的基础了。拥护的人固然应当这样才真正能达到目的，就是要推翻的人也应当这样才不是武断、专制！

事实和理论不合，可以说有两个来源：一个是我们所见到的事实，并非是真的事实。换句话说，就是，我们对于那事实的一切认识未必真切明晰。譬如说，害疟疾的人，画一碗符水给他喝到肚里，那病就好了。这事，我也曾经试做过，真也有有效的时候，但我宁可相信，符水和疟疾的治疗风马牛不相及，只不过是这两个事实偶然碰在一起，我们被它蒙混着罢了。真的，我从前给别人画符水，说来就可笑，根本我就不知是应当怎么画的！

还有一个来源，便是学理本身有缺点，比如对于某种病，西医用的是一种药，而中医是用的汤头，分析的结果和它全不相关，那么只是一种病可有两种治疗法，并非中医的就不对，因为既有了对症治好的事实，这无可否认。

所谓科学诊断事实，由这个例子大约就可以说明白：第一，是诊断事实的真伪；第二，倘使诊断出它是真实的了，那就进一步给它找合理的说明。所以科学的精神，最根本的是不武断、不盲从！我们常常听着人家说，某人某人平时批评起别人来都很有道理，但事情一到他的手里总一样地糟。这确实也是一个事实！对于这个事实，有些人就很聪明地这么来解释说：学理是学理，事实是事实。从这解释当中还生出一个可笑的说法，那就是“书呆子”这个名词含有不少的轻蔑意味所暗示着的。其实凭空虚造的学理，哪里冒充得来真的学理？而真的学理，哪有不能应用到事实上去的理由呢？

话说得有些远了，归结一句，科学的态度是要虚心地去用科学的方法。