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十九韩信点兵（第4页）

“这本来是咱们中国的一个老题目，它还有一个别致的名称——韩信点兵。它的算法，有诗一首：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

你们懂得这诗的意思吗？”

“不懂！不懂！”许多人都说。于是马先生加以解释：

“这也是和‘无边落木萧萧下’的谜一样。三人同行七十稀，是说3除所得的余数用70去乘它。五树梅花廿一枝，是说5除所得的余数，用21去乘。七子团圆月正半，是说7除所得的余数用15去乘。除百零五便得知，是说把上面所得的三个数相加，加得的和若大于105，便把105的倍数减去。因此得出来的，就是最小的一个数。好！你们依照这个方法，将本题计算一下看。”下面就是计算的式子：

1×70+2×21+1×15=70+42+15=127

127-105=22

奇怪！对是对了，但为什么呢？周学敏还掉了一个题，“三三数剩二，五五数剩三，七七数剩四”来试，

2×70+3×21+4×15=140+63+60=263

263-105×2=263-210=53

53正是3的17倍多2，5的10倍多3，7的7倍多4。真奇怪！但是为什么？

对于这个疑问，马先生说，把上面的式子改成下面的形式，就可以明白了。

（1）2×70+3×21+4×15=2×（69+1）+3×21+4×15

=2×23×3+2×1+3×7×3+4×5×3

=（2×23+3×7+4×5）×3+2×1

（2）2×70+3×21+4×15=2×70+3×（20+1）+4×15

=2×14×5+3×4×5+3×1+4×3×5

=（2×14+3×4+4×3）×5+3×1

（3）2×70+3×21+4×15=2×70+3×21+4×（14+1）

=2×10×7+3×3×7+4×2×7+4×1

=（2×10+3×3+4×2）×7+4×1

“这三个式子，可以说是同一个数的三种解释：（1）表明它是3的倍数多2；（2）表明它是5的倍数多3；（3）表明它是7的倍数多4。这不是正和题目所给的条件相合吗？”马先生说完了，王有道似乎已经懂得，但又有点怀疑的样子。他踌躇了一阵，向马先生提出这么一个问题：

“用70去乘3除所得的余数，是因为70是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。用21去乘5除所得的余数，是因为21是3和7的公倍数，又是5的倍数多1。用15去乘7除所得的余数，是因为15是5和3的倍数，又是7的倍数多1。这些我都明白了。但，这70，21和15怎么找出来的呢？”

“这个问题，提得很合适！”马先生说，“这类题的要点，就在这里。但，这些数的求法，说来话长，你们可以去看开明书店出版的《数学趣味》，里面就有一篇专讲《韩信点兵》的。——不过，像本题，三个除数都很简单，70、21、15都容易推出来。5和7的最小公倍是什么？”

“35。”一个同学回答。

“3除35，剩多少？”

“2——”另一个同学回答。

“注意！我们所要的是5和7的公倍数，同时又是3的倍数多1的一个数。35当然不合用。将2去乘它，得70，既是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。至于21和15情形也相同。不过21已是3和7的公倍数，又是5的倍数多1；15已是5和3的公倍数，又是7的倍数多1，所以都用不到再把什么数去乘它了。”

最后，他还补充一句：

“我提出这个题的原意，是要你们知道，它的形式虽和求最小公倍数的题相同，实质上却是两件事，必须加以注意。”