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三十结束的一课（第3页）

由（5），3、8、14的和是25，所以：

由（6），6、1、13的和是20，所以：

由（7），7、2、16的和是25，所以：

“除了这几种，还有没有呢？”我正在怀着这个疑问，马先生却问了出来，但是没有什么人回答。后来，他说，还有，但还有更根本的问题，先要解决。

又是什么问题呢？

马先生问：“你们就这几个例子看，能得出什么结果呢？”

“各个连比三次的和，是5（2），20[（4）和（6）]，25[（1）（3）和（5）]，都是100的因数。”王有道。

“这就是根本问题。”马先生说，“因为我们要的是整数的答数，所以这些数就得除得尽100。”

“那么，能够配来合用的比，只有这样多了吗？”周学敏问。

“那也不止，不过配成各项的和是5或20或25的，只有这样多了。”马先生回答。

“怎样知道的呢？”周学敏追问。

“那是一步一步地推算的结果。”马先生说，“现在你仔细看前面的六个连比。把（2）做基本，因为它是最简单的一个。在（2）中，我们又用上和下的比，1∶2做基本，我们将它的形式改变。再把中和下的比，1∶1也跟着改变，来凑成三项的和是5，或20或25。例如，用2去乘这样的两项，得2∶4，它们的和是6。20减去6剩14，折半是7，就用7乘第二个比的两项，这样就是（4）。”

“用2乘第一个比的两项，得2∶4，它们的和是6。第二个比的两项，也用2去乘，得2∶2，它们的和是4。连比变成2∶2∶6，三项的和是10，也能除尽100。为什么不用这一个连比呢？”王有道问。

“不是不用，是可以不用。因为2∶2∶6和（1）的5∶5∶15同着（2）的1∶1∶3是相同的。由此可以看出来，乘第一个比的两项所用的数，必须和乘第二比的两项所用的数不同，结果才不同。”

马先生回答后，王有道后又说：“你们索性再进一步探究。第一个比，1∶2，两项的和是3，是一个奇数。第二个比，1∶1，两项的和是2，是一个偶数。所以，第一个比的两项，无论用什么数（整数）去乘，它们的和总是3的倍数。并且，乘数是奇数，这个和也是奇数；乘数是偶数，它也是偶数。再说奇数加偶数是奇数，偶数加偶数仍然是偶数。

跟着这几个法则，我们来检查上面的（3）（5）（6）（7）四种混合比看。（3）的第一个比的两项没有变，就算是用1去乘的，结果两项的和是奇数，所以连比三项的和也只能是奇数，它就只能是25。［5就是（2）。］（5）的第一个比的两项，是用3去乘的，结果两项的和是奇数，所以连比三项的和也只能是奇数，它就只能是25。在这里，要注意，若用4去乘第一个比的两项，结果它们的和是12，只能也用4去乘第二个比的两项，使它成4∶4，而连比成为4∶4∶12，，这和（1）同（2）一样。若用5去乘第一个比的两项，不用说，得出来的就是（1）了。所以（6）的第一个比的两项是用6去乘的，结果它们的和是18，偶数，所以连比三项的和只能是20。20减去18剩2，正是第二个比两项的和。用7去乘第一个比的两项，结果，它们的和是21，奇数，所以连比三项的和只能是25。25减去21剩4，折半得2，所以第二个比，应该变成2∶2，这就是（7）。

假如用8以上的数去乘第一个比的两项，结果它们的和已在24以上，连比三项的和当然超过25。——这就说明了配成连比三项的和是5或20或25的，只有（2）（3）（4）（5）（6）（7）六种。”

“那么，这个题，也就只有这六种答数了？”一个同学问。

“不！我已回答过周学敏。周学敏！连比三项的和，合用的，还有什么？”马先生问。

“50和100。”周学敏说。

“对的！那么，还有几种方法可配合呢？”马先生问。

“……”

“没有人能回答上来吗？这不是很便当的吗？”马先生说。“其实也是很呆板的。第一个比变化后，两项的和总是‘3’的倍数，这是第一点。（7）的第一个比两项的和已是21，这是第二点。50和100都是偶数，所以变化下来的结果，第一个比两项的和须是‘3’的倍数，而又是偶数，这是第三点。由这三点去想吧！先从50起。”

“由第一、二点想，21以上50以下的数，有几个数是3的倍数？”马先生问。

“50减去21剩29，3除29可得9，一共有9个。”周学敏说。

“再由第三点看，只能用偶数，9个数中有几个可用？”

“21以后，第一个3的倍数是偶数。50前面，第一个3的倍数，也是偶数。所以有5个可用。”王有道说。

“不错。24、30、36、42和48，正好5个。”我一个一个地想了出来。

“那么，连比三项的和，配成这五个数，都合用吗？”马先生问。

大约这中间又有什么问题了。我就把五个连比都做了出来。结果，真是有问题。

第一，用10乘第一个比的两项，得10∶20，它们的和是30。50减去30剩20，折半得10，连比便成了10∶10∶30，等于1∶1∶3，同（2）是一样的。

第二，用14乘第一个比的两项，得14∶28，它们的和是42。50减去42剩8，折半得4，连比便成了14∶4∶32，等于7∶2∶16，同（7）一样。

我将这个结果告诉了马先生，他便说：

“可见得，只有三种方法可配合了。连同上面的六种——（1）和（2）只是一种——一共不过九种。此外，就没有了。”

我觉得，这倒很有意思。把九种比写出来一看，除前面的（2），它是作基本的以外，都是用一个数去乘（2）的第一个比的两项得出来的。这些乘数，依次是1、2、3、6、7、8、12和16。用5、10或14做乘数的结果，都和这九种中的一种重复。用9、11、13或15去乘是不合用的。我正在玩味这些情况，突然周学敏大声地说：

“马先生，不对！”

“怎么？你发现了什么？”马先生很诧异地问。

“前面的（4）和（6），第一个比两项的和都是偶数，不是也可以将连比配成三项的和都是50吗？”周学敏很得意地说。

“好！你试试看。”马先生说，“这个漏洞，你算捉到了。”我觉得很奇怪，为什么马先生早没有注意到呢？

“（4）的第一个比，两项的和是6，50减去6剩44，折半是22，所以第二个比可变成22∶22，连比是2∶22∶26。”周学敏说。