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十王老头子的汤圆（第4页）

把（1）（2）（3）三个式子一比较，右边各项的数系数是1，1；1，2，1；1，3，3，1。这恰好相当于二项式（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，各展开式中各项的系数。根据这个事实，依照数学的归纳法的步骤，我们无妨走进第二步，假定推到一般，而得出：

照前面的样子，把第n+1排作第一排，第n+2排作第二排，便可得：

将这两个式子相加，很巧就得：

这不是已将数学的归纳法的三步走完了吗？可见我们假定对于n的公式若是对的，那么，它对于n+1也是对的。而事实上它对于1、2、3、4等都是对的，可见得它对于6、7、8……也是对的，所以推到一般都是对的。倘若你还记得我们讲组合——见棕榄谜——时所用的符号，那么就可将这公式写得更简明一点：

这个式子所表示的是什么，你可知道？它就是用差级数的第一项，和各次差的第一项，表出这差级数的一般项。假如王老头子的那一盘汤圆总共堆了十层，因为，这差级数的第一项u1是1，第一次差的第一项Δu1是3，第二次差的第一项Δ2u1是2，第三次以后的Δ3u1、Δ4u1都是0，所以第十层的汤圆的个数便是：

这个得数谁也用不到怀疑，王老头子的那盘汤圆的第十层，正是每边十个的正方形，总共恰好一百个。

我们要求的原是计算差级数和的公式，现在跑这野马干什么？

别着急！朋友！就来了！再弄一个小小的戏法，保管你心满意足。

我们在前面差级数三角形的顶上加一串数v1、v2、v3……vn、vn+1不过就是胡乱写些数，它们每两项的差，就是u1、u2、u3……un。这样一来，它们便是n+1次差级数，而第一次的差为

若是我们惠而不费地将vn+1点缀得富丽堂皇些，无妨将它写成下面的样子：

假使造这串数的时候，取巧一点，v1就用0，那么，便得：

所以若用求一般项的公式来求vn+1得出来的便是u1+u2+u3+……+un的和。但就公式说，这个差级数中，u1=0，Δu1=u1，Δ2u1=Δu1……Δn+1u=Δnu1

这个戏法总算没有变差，由此我们就知道：

假如照用惯了的算术级数的样儿将a代第一项，d代差，并且不用组合所用的符号　次差级数n项的和便是：

有了这公式，我们就回头去解答王老头子的那一盘汤圆，它是一个二次差级数，对于这公式说：a=1，d1=3，d2=2，d3=d4=……=0。

第二种三角锥的堆法，前面也已说过，仍是一个二次差级数，对于这公式，a=1，d1=2，d2=1，d3=d4=……=0。

至于第三种堆法，它各层的个数及各次的差是：

也是一个二次差级数，u1=p，d1=p+2，d2=2，d3=d4=……=0

最后，再把这个公式运用到第四种堆法，它的每层的个数以及各次的差是这样的：

ab，（a+1）（b+1），（a+2）（b+2），（a+3）（b+3）……

（a+b）+1，（a+b）+3，（a+b）+5……

2，2……

所以也是一个二次差级数，就公式说，u1=ab，Δu1=（a+b）+1，Δu2=2，Δu3=Δu4=……=0

用差级数的一般求和的公式，将我们开头提出的四个公式都证明了。这种证明真可以算是无疵可指，就连最后分母中那事实上无关痛痒的1×2×3中的1也给了它一个详细说明。这种证法，不但有这一点点的好处，由上面的经过看来，我们所提出的四个公式，全都是这差级数求和的公式的运用。因此只要我们已彻底地了解了它，这四个公式就不值一顾了，数学的理论的发展，永远是霸道横行，后来居上的。

六

一开头曾经提到我们的老前辈朱世杰先生，这里就以他老人家的功绩来作结束。上面我们只提到四种堆法，已闹得满城风雨，借用了许多法宝，才达到心安理得的地步。然而在朱老先生的大著《四元玉鉴》中，“茭草形段”只有七题，“如像招数”只有五题，“果垛叠藏”虽然多一些，也只有二十题，总共不过三十二题。他所提出的堆垛法有些名词却很别致，现在列举在下面，至于各种求和的公式，那不用说，当然可依样画葫芦地证明了。

（1）落一形——就是三角锥形。

（2）刍甍垛——就是前面第三种堆法。

（3）刍童垛——就是矩形截锥台。

（4）撒星形——三角落一形——就是1，（1+3），（1+3+6）……

（5）四角落一形——就是12，（12+22），（12+22+32）……（12+22+……+n2）

（6）岚峰形——就是1，（1+5），（1+5+12）……

（8）四　角岚峰形　——就是1·12，2（12+22），3（12+22+32）　……n（12+22+32+……+n2）