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九韩信点兵（第2页）

——还是不对，七个七个地数，只剩一个。

这真叫我走投无路了！那天的晚饭虽然仍是那位老板留我们吃，但当祖父答应留在那里的时候，我非常难过，眼巴巴地望着他，希望他能领我回家，我真是脸上热一阵冷一阵的，哪儿有心思吃饭！我想得头都胀了，总想不出答案。羞愧、气闷，因而还有些恼怒，满心充塞着这些滋味没精打采地在夜里跟随祖父回家。我的祖父对我很慈爱，但督责也很严，他在外面虽不曾向我说什么，一到家里，他就开始教训我了：

——读书要用心！……在别人的面前不好夸口！……“宁在人前全不会，勿在人前会不全！”小小年纪晓得些什么？别人问到就说不知道好了……

这时他的脸上严肃中还带有几分生气的神情。他教训我时，我的母亲、婶母、哥哥都在旁边，后来他慢慢地将我的遭遇说给他们听，我的哥哥听他说完了题目便脱口而出：

——二十三。

我非常不服气：

——别人告诉过你的！

——还这样不上进。

祖父真生气了。

从那夜起，一直两三天，我见到祖父就怕，我任何时候都在想这个题的算法，弄得吃、玩、睡都惝怳。最终还是我的哥哥将算这个题目的秘诀告诉了我，而且说，这叫“韩信点兵”。虽然我对这道题十分懊丧，却慢慢地把它抛到了脑后。

现在想起来，那次遭遇以及祖父所给我的教训实在是我的年龄不应当承受的。不过这样的硬教育，对于我也有很大的功劳，我对于数学能有较浓厚的兴趣，一半固然由于别人所给的积极的鼓励；而一半也由于这些我所承受不起的遭遇和教训。数学有时会叫人头痛，然而经过一次头痛，总有一次进步。这次的遭遇，对于本问题，我自己虽是一无所得，但对于思索问题的途径，确实得到了不少启示。在当时，有些自以为有了理解的，虽也不免不切实际或错误，但毕竟增长了一些趣味和能力。因此我愿以十二分的诚意，将这段经过叙述出来，以慰勉一部分和我有类似遭遇的读者。

现在我们言归正传。

所谓“韩信点兵”，指的是那位盐老板给我出的题目的算法。“韩信点兵”这个名词虽是到了明时程大位的《算法统宗》才见到的。但这个问题在中国数学史上很有来历，到了卖盐老板都知道，也可以当得起“妇孺皆知”的荣誉了。

这题目最早见于《孙子算经》，《孙子算经》是什么时候什么人所作的书，现在虽然难以考证，大约是二千多年前的作品确实是不容怀疑的。在《孙子算经》上，这题目原是这样的：“今有物不知数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问物几何？”

在原书中本归在《大衍求一术》中，到了宋时，周密的书中却有《鬼谷算》和《隔墙算》的名目，而杨辉又称之为“剪管术”，在那时便有秦王暗点兵的俗名，大约韩信就是从秦王变来的，至于“明点”“暗点”本没有多大关系。

原书上，跟着题目便有下面的一段：

“答曰二十三。”

“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。”

“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置一十五；一百六以上，以一百五减之，即得。”

后一小段可以说是这类题的基本算法，而前一小段是本问题的解答，用现在的式子写出来便是：

照前面的说法，自然是士大夫气很重，也可以说是讲义体，一般人当然很难明白，但到了周密的书中便有了诗歌形式的说明，那诗道：

“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇。

七度上元重相会，寒食清明便可知。”

这诗虽然容易记诵，但意义不明，而且说得也欠周到。到了程大位，它就改了面目：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆月正半，除百零五便得知。”

这诗流传得非常广，所以如卖盐老板之流也都知道，而我的哥哥所告诉我的秘诀就是它。

是的，知道了它，这类的题目便可以机械地算了，将三除所得的余数去乘七十，五除所得的余数去乘二十一，七除所得的余数去乘十五，再把这三项乘积相加。如所得的和比一百零五小，那便是所求的答数；不然，则减去一百零五的倍数，而得出比一百零五小的数来——这里所要求的只是一个最小的答案——例如三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩三，那么，运算的步骤便是：

若单只就实用或游戏说，熟记这秘诀已够用了。至于它是从哪儿来的，一般人哪儿管这么多？但就数学的立场来说，这种知其然而不知其所以然的态度却没有多大价值，即使熟记这秘诀，所能应付的问题不过一百零五个，因为只限于三三、五五、七七三种数法。我们要默记这一百零五个答数并不是不可能，然而如果真的熟记这一百零五个答数，那就无意味了。（见附注）

所以我们第一要问，为什么这样就是对的？

要说明其中的理由，我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：

（一）某数的倍数的倍数，还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。

（二）某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一起，他们仍然是我的哥哥一般。

依照这两个定理来检讨上面的算法，设R3表示用三除所得的余数，R5和R7相应地表示用五除和用七除所得的余数，那么：

（一）七十是五和七的倍数，而是三的倍数多一，所以用R3去乘仍是五和七的倍数，而是三的倍数多R3。