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九韩信点兵（第3页）

（二）二十一是七和三的倍数，而是五的倍数多一，所以用R5去乘仍是七和三的倍数，而是五的倍数多R5。

（三）十五是三和五的倍数，而是七的倍数多一，所以用R7去乘仍是三和五的倍数，而是七的倍数多R7。

（四）所以这三项相加，就三说，是70×R3+21×R5+15×R7=3的倍数+R3+3的倍数+3的倍数=3的倍数+R3。

若用三去除所得的余数正是R3。就五说，是70×R3+21×R5+15×R7=5的倍数+R5+5的倍数+5的倍数=5的倍数+R5。

若用五去除所得的余数正是R5。就七说，是70×R3+21×R5+15×R7=7的倍数+R7+7的倍数+7的倍数=7倍数+R7。

若用七去除所得的余数正是R7。

这就可以证明我们如法炮制出来的数是合题的。至于在比一百零五大的时候，要减去它的倍数，使得数小于一百零五，这是因为适合于题目的答数本来是无穷的，只得取最小的一个数代表的缘故。一百零五本是三、五、七的最小公倍数，在这最小的答数上加入它的倍数，这和除得的余数无关。

经过这样的证明，我们可以承认上面的算法是对的。但这还不够，我们还要问，那七十、二十一和十五三个数含有怎样的性质？

七十是五和七的公倍数，而二十一是七和三的最小公倍数，十五是三和五的最小公倍数，为什么两个是最小公倍数而它一个却只是公倍数呢？

这个问题并不难回答，因为二十一用五除，十五用七除都恰好剩一，而五和七的最小公倍数“三十五”用三除剩的却是二，七十用三除才剩一。所以这个解法的要点，是要求出三个数来，每一个都是三个除数中的两个的公倍数——最小公倍数是碰巧的——而同时是它一个除数的倍数多一。这样，就到了第三步，我们要问，合于这种条件的数怎么求出来呢？这里且将清时黄中宪所编的《求一术通解》里的方法摘抄在下面，我们来认识认识中国数学书的面目，也是一件趣事。

“三位泛母都是数根，不可拆，即为定母。连乘，得105为衍母。以一行三除之，得三十五为一行衍数；以二行定母五除之，得二十一为二行衍数；以三行定母七除之，得十五为三行衍数。”

这里所谓泛母，用不到解释，便可明白，析母就是将泛母分成质因数。至于定母，便是各泛母所单独含有的质因数的积。若是有一个质因数是两个以上的泛母所共有的，那么只是含这个质因数的个数最多的泛母用它；若是两个泛母所含这质因数的个数相同，那么随便哪一个泛母用它都可以。注意后面的另一个例子——衍母是各定母的连乘积，也就是各泛母的最小公倍数，衍数是用定母除衍母所得的商。

得了定母和衍数，就可以求乘率，所谓乘率便是乘了衍数所得的积恰等于泛母的倍数多一的数，而这个乘积称为用数。求乘率的方法，在《求一术通解》里面是这样说的：“列定母于右行，列衍数于左行（左角上预寄一数），辗转累减，至衍数余一为止，视左角上寄数为乘率。

“按两数相减，必以少数为法（法是减数），多数为实（实是被减数）。其法上无寄数者，不论减若干次，减余数上仍以一为寄数（1）。其实上无寄数者，减作数上，以所减次数为寄数（2）。其法实上俱有寄数者，视累减若干次，以法上寄数亦累加若干次于实上寄数中（3），即得减余数上之寄数矣。”

照这个法则，我们来求所要的各乘率。为了容易明白，我将原式的中国数码改成了阿拉伯数字：

所以乘率是2。

所以乘率是1。

所以乘率是1。

依原书所说，是用累减法，但累减便是除，为什么不老老实实地说除，而要说是累减呢？是因为最后衍数这一行必要保留一个余数一——所以即使除得尽也不许除尽。因此说除不如说累减更好。但在此说明，还是用除好些。我们就用除法来检查这个计算法。如第一式，衍数35左角上的1，就是所谓预寄的一数，表示用一个衍数的意思。因为定母3比衍数35小，用3（法）去除35（实）得11剩2。照（1）法上无寄数，仍以1为余数2的寄数，所以2的左角上写1。接着以2（法）除3（实）得1（商）剩1。照（2）实上无寄数，以所减次数（即商数）为余数的寄数，所以1的右角上还是1。再用这1（法）去除2（实）本来是除得尽的，但应当保留余数1，因此只能商1而剩1。照（3）法实都有寄数，应当以商数1乘法数1的寄数1，加上实数2的寄数1得2，为余数1的寄数，而它便是乘率。

第一次的余数2=35-3×11

第二次的余数1=3-2×1=3-第一次的余数×1=3-1-（35-3×11）×1

第三次的余数1=2-1×1

上式中“·”表示所求得的乘率，黑体字表示每次的寄数。你看这求法多么巧妙！现在用代数的方法证明如下：设A为定母，B为衍母，a0a1a2……an为各次的寄数，r0r1r2……rn为各次的余数，而rn等于1，依上面的式子写出来便是：

有了乘率，将它去乘衍数就得用数，上面已经证明了，所以在本例题中，三、五和七的用数相应地便是七十（35×2）、二十一（21×1）和十五（15×1）。

杨辉的“剪管术”中，同样的题目有好几个，试取两个照样演算于下。

（a）七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数是多少？

（一）求衍数（二）求乘率所以乘率是4。所以乘率是7。

所以乘率是5。

（三）求用数，就是将相应的乘率去乘衍数，所以七、八、九的用数相应地为二百八十八（72×4）、四百四十一（63×7）和二百八十（56×5）。

（四）求本数，就是将各除数所除得的剩余相应地乘各用数，而将这三个乘积加起来。倘若所得的和比七、八、九的最小公倍数504大，就将504的倍数减去，也就是用这最小公倍数除所得的和而求余数。

因而288×1+441×2+280×3=288+882+840=2010

2010÷504=3余498

所以四百九十八是本数。

（b）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，求原数是多少？

（一）求衍数