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十王老头子的汤圆（第2页）

这就到了第三步，这假定的公式对于n+1也对吗？我们在这假定的公式中，两边都加上（n+1）2这便是Sn+1，所以

这最后的形式和我们所假定的公式完全一样，所以我们的假定是对的。

这公式是用于正三角锥形的，所谓正三角锥形，第一层是一个，第二层是一个加二个，第三层是一个加二个加三个，第四层是一个加二个加三个加四个……这样推下去到第n层便是：

1+2+3+4+……+n

而总和便是：

Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+……+（1+2+3+4+……+n）

第一步，我们找出，

第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：

跟着到第三步，证明这假定的公式对于n+1也是对的，就是在假定的公式两边都加上1+2+3+4+……+n+n+1

这最后的形式，不是和我们所假定的公式的形式一样吗？可见我们的假定是对的。

第一步和证明前两个公式的，没有什么两样，我们无妨省事一点儿，将它略去，只来证明这公式对于n+1也是对的。这种堆法，第一层是p个，第二层是两个（p+1）个，第三层是三个（p+2）个……照样推上去，第n层是n个（　p　+　n?　1）个。所以，

而Sn+1=p+2（p+1）+3（p+2）+……+（n+1）（p+n）假定上面的公式关于n是对的，则

不用说，这最后的形式，和我们假定的公式完全一样，我们所假定的公式便是对的。

我们也来假定它关于n是对的，而证明它关于n+1也是对的。这种堆法，第一层是ab个，第二层是（a+1）（b+1）个，第三层是（a+2）（b+2）个……照样推上去，第n层便是（a

+　n　?　1）（b

+　n?　1）个，所以：a

+n）+n　?1）

假定上面的公式对于n是对的，则

在形式上，这最后的结果和我们所假定的公式也没有什么分别，可知我们的假定一点儿不差。

四

用数学的归纳法，四个公式都证明了，按理说我们可以心满意足了。但是，仔细一想，这种证明法，巧妙固然巧妙，却有一个大大的困难在里面。这困难并不在从Sn证Sn+1这第二、第三两步，而在第一步发现我们所要假定的Sn的公式的形式。假如别人不曾将这公式提出来，你要从一项、两项、三项、四项……老老实实地相加而发现一般的形式，这虽然不好说不可能，但真是不容易，因此我们再说另外一种找寻这几个公式的方法。

我把这一种方法，叫分项加合法，这是一种知道了一个级数的一般项，而求这级数的n项的和的一般的方法。

什么叫级数、算术级数和几何级数，大概早已在你洞鉴之中了。那么，可以更广泛地说，一串数，依次两个两个地有相同的一定的关系存在，这串数就叫级数。比如算术级数每两项的差是相同的、一定的；几何级数每两项的比是相同的、一定的。当然在级数中，这两种算是最简单的，其他的都比较复杂，所以每两项的关系也不易发现。

什么叫级数的一般项？换句话说，就是一个级数的第n项。若算术级数的第一项为a，公差为d，则一般项为a+（n-1）d；若几何级数的第一项为a，公比为r，则一般项为arn-1。回到上面讲的积弹法上去，每种都是一个级数，它们的一般项便是：（1）n2；（2）n（n+1）2或12（n2+n）；（3）n（　p　+　n?　1）或np+n2-n；（4）（a

+　n　?　1）（b

+　n?　1）或ab+（a+b）（n-1）+（n-1）2。

四个一般项除了（1）以外，都可认为是两项以上合成的。在一般项中设n为1，就得第一项；设n为2，就得第二项；设n为3，就得第三项……设n为什么数，就得第什么项。所以对于一个级数，倘若能够知道它的一般项，我们要求什么项都可以算出来。

为了写起来便当，我们来使用一个记号，例如

Sn=1+2+3+4+……+n

我们就写成∑n，读作Sigman。∑是一个希腊字母，相当于英文的S。S是英文Sum（和）的第一个字母，所以用∑表示“和”的意思。而∑n便表示从1起，顺着加2，加3，加4……一直加到n的和。同样地，

∑n（n+1）=1·2+2·3+3·4+4·5+……+n（n+1）

∑n2=12+22+32+42+……+n2

记好这个符号的用法和上面所说过的各种一般项，就可得出下面的四个式子：

（1）Sn=∑n2=12+22+32+42+……+n2

这样一来，我们可以看得很明白，只要将（1）求出，以下的三个就容易了。关于（1）的求法运用数学的归纳法固然可以，即或不然，还可参照下面的方法计算。

我们知道：