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十王老头子的汤圆（第3页）

13-03=3·12-3·1+1

若将这n个式子左边和左边加拢，右边和右边加拢，便得

这个结果和前面证过的一样，但来路比较清楚。利用它，（2）（3）（4）便容易得出来。

五

前一种证明法，来得自然有根源，不像用数学的归纳法那样突兀。但还有一点，不能使我们满意，不是吗？每个式子的分母都是1×2×3，就前面的证明看来，明明只应当是2×3，为什么要写成1×2×3呢？这一点，若再用其他方法来寻求这些公式，那就可以恍然大悟了。

这一种方法可以叫作差级数法。所谓拟形级数，不过是差级数法的特别情形。

怎样叫差级数？算术级数就是差级数中最简单的一种，例如1、3、5、7、9……这是一个算术级数，因为3-1=5-3=7-5=9-7=……=2

但是，王老头子的汤圆的堆法，从顶上一层起，顺次是1、4、9、16、25……各各两项的差是4-1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9……

这些差全不相等，所以不能算是算术级数，但是这些差3、5、7、9……的每两项的差都是2。

再如第二种三角锥的堆法，从顶上起，各层的个数依次是1、3、6、10、15……各各两项的差是3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5……

这些差也全不相等，所以不是算术级数，不过它和前一种一样，这些差数依次两个的差是相等的，都是1。

我们来另找个例，如13、23、33、43、53、63……这些数立方之后便是1、8、27、64、125、216……而

（Ⅰ）8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……

（Ⅱ）19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……

（Ⅲ）18-12=6，24-18=6，30-24=6……

这是到第三次的差才相等的。

再来举一个例子，如2，20，90，272，650，1332……

（Ⅰ）20_2=18，90-20=70，272_90=182，650_272=378，1332_650=682……

（Ⅱ）70-18=52，182-70=112，378-182=196，682-378=304……

（Ⅲ）112-52=60，196-112=84，304-196=108……

（Ⅳ）84-60=24，108-84=24……

这是到第四次的差才相等的。

像这些例一般的一串数，照上面的方法一次一次地减下去，终究有一次的差是相等的，这一串数就称为差级数，第一次的差相等的叫一次差级数，第二次的差相等的叫二次差级数，第三次的差相等的叫三次差级数，第四次的差相等的叫四次差级数……第r次的差相等的叫r次差级数。算术级数就是一次差级数，王老头子的一盘汤圆，各层就成一个二次差级数。

所谓拟形数就是差级数中的特殊的一种，它们相等的差才是1。这是一件很有趣味的东西。法国的大数学家布莱士·帕斯卡（BlaisePascal）在他1665年发表的《算术的三角论》（Traitédutriaique）中，就记述了这种级数的作法，他作了如后的一个三角形。

这个三角形仔细玩赏一下，趣味非常丰富。它对于从左上向右下的这条对角线是对称的，所以横着一排一排地看，和竖着一行一行地看，全是一样。

它的作法是：（Ⅰ）横、竖各写同数的1。（Ⅱ）将同行的上一数和同排的左一数相加，便得本数。即

1+1=2，1+2=3，1+3=4……2+1=3，3+3=6……3+1=4，6+4=10……

4+1=5，10+5=15……5+1=6，15+6=21……6+1=7，21+7=28……

7+1=8，28+8=36……8+1=9……

由这个作法，我们很容易知道它所包含的意味。就竖行说（自然横排也一样），从左起，第一行是相等的差，第二行是一次差级数，每两项的差都是1。第三行是二次差级数，因为第一次的差就是第二行的各数。第四行是三次差级数，因为第一次的差就是第三行的各数，而第二次的差就是第二行的各数。同样地，第五行是四次差级数，第六行是五次差级数……

这种玩意儿的性质，布莱士·帕斯卡有过不少的研究，他曾用这个算术三角形讨论组合，又用它发现许多关于概率的有趣味的东西。

上面已经说过了，王老头子的一盘汤圆，各层正好成一个二次差级数。倘若我们能够知道计算一般差级数的和的公式，岂不是占了大大的便宜了吗？

对，我们就来讲这个。让我们偷学布莱士·帕斯卡来作一个一般差级数的三角形。

差，英文是difference，和用S代Sum一般，如法炮制就用d代difference。本来已够用了，然而我们还可以更别致一些，用一个相当于d的希腊字母Δ来代。设差级数的一串数为u1，u2，u3……第一次的差为Δu1，Δu2，Δu3……第二次的差为Δ2u1，Δ2u2，Δ2u3……第三次的差为Δ3u1，Δ3u2，Δ3u3……这样一来，就得下面的三角形。

这个三角形的构成，实际上说，非常简单，下一排的数，总是它上一u5，排的左右两个数的差，即：加法可以说是减法的还原，因此由上面的关系，便可得出：

照样地，第二排当作第一排，第三排当作第二排，便可得：