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三十结束的一课（第2页）

马先生说，本题由F、G、H、I各点去找A和C、A和D、B和C，同着B和D的比，反不如就AE、BE、CE、DE看来得简明。依照这个看法：

AE＝12，BE＝6，

CE＝9，DE＝15。

因为只用到它们的比，所以可变成：

AE＝4，BE＝2，

CE＝3，DE＝5。

再注意把它们的损益相消，就可以配合成了。

配合的方式，本题可有七种。马先生叫我们共同考察，将算术上的算法，和图对照起来看，这实在是又切实又有趣的工作。本来，我们照呆法子计算的时候，方法虽懂得，结果虽不差，但心里面总是模糊的。现在，经过这一番探讨，才算一点儿不含糊地明了了。

配合的方式，可归结成三种，就依照这样，分别写在下面：

（一）损益各取一个相配的，在图上，就是OE线的上（损）和下（益）各取一个相配。

第三，求混合量——知道了全量。

例四：鸡、兔同一笼，共十九个头，五十二只脚，求各有几只？

图142

这原是马先生说过——第十节——在混合比例中还要讲的。到了现在，平心而论，我已掌握它的算法了：先求混合比，再依按比分配的方法，把总数分开就行。

且先画图吧。用纵线表示脚数，横线表示头数，A就指出十九个头同五十二只脚。

连OA表示平均的脚数，作OB和OC表示兔和鸡的数目。又过A作AD平行于OC，和OB交于D。

由D往下看到横线上，得E。OE指示7，是兔的只数；EF指出12，是鸡的只数。

计算的方法，虽然很简单，却不如作图法的简明：

在这里，因为混合比的两项12同7的和正是19，所以用不着再计算一次按比分配了。

例五：上、中、下三种酒，每斤的价是3角5分、3角和2角。要混合成每斤2角5分的酒100斤，每种需多少？

图143

作OA、OB、OC和OD分别表示每斤价2角5分、3角5分、3角和2角的酒。这个图正好表出：上种酒损1角，BA；中种酒损5分，CA；而下种酒益5分，DA。因而混合比是：

依这个比，在右边纵线上取1和3，过1和3作线平行于OA，交横线于80和40。从80到100是20，从40到100是60。即上酒20斤、中酒20斤、下酒60斤。

算法和前面一样，不过最后需按1∶1∶3的比分配100斤罢了。所以，本不想把式子写出来。

但是，马先生却问：“这个结果自然是对的了，还有别的分配法没有呢？”

为了回答这个问题，只得将式子写出来。

混合比仍是1∶1∶3，把100斤分配下来，自然仍是20斤、20斤和60斤了，还有什么疑问呢？

不！但是不！马先生说：“比是活动的，在这里，上比下和中比下，各为5∶10和5∶5，也就是1∶2和1∶1。从根本上讲，只要按照这两个比，分别取出各种酒相混合，损益都正好相抵消而合于平均价，所以：

（1）和（2）是已用过的，（3）（4）（5）和（6）都可得出答数来。”是的，由（4），2、7、11的和是20，所以：

“除了这几种，还有没有呢？”我正怀着这个疑问，马先生却问了出来，但是没有什么人回答。后来，他说，还有，但还有更根本的问题要先解决。

又是什么问题呢？

马先生问：“你们就这几个例看，能得出什么结果呢？”

“各个连比三次的和，是5（2）、20[（4）和（6）]、25[（1）（3）（5）和（7）]，都是100的约数。”王有道回答。

“这就是根本问题。”马先生说，“因为我们要的是整数的答数，所以这些数就得除得尽100。”

“那么，能够配来合用的比，只有这么多了吗？”周学敏问。