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三十结束的一课（第4页）

“好！我们总算把这个问题解析得很透彻了。周学敏的疑问虽是对的，可惜他没抓住最紧要的地方。他只看到前面的七种，不曾想到七种以外。这一点我本来就要提醒你们的。假如用4去乘（2）的第一个比的两项，得的是4∶8，它们的和便是12。50减去12剩38，折半是19。第二个比是19∶19。连比便是4∶19∶27。加上前面的九种一共有十种配合法。这种探究，不过等于一种游戏。假如没有总数100的限制，混合的方法本来是无穷的。”

对于这样的探究，我觉得很有趣，就把各种结果抄在后面。

“但是，连比三项的和是100的呢？”一个同学问马先生。

他说：“这也应该探究一番，一不做二不休，干脆尽兴吧！从哪里下手呢？”

“就和刚才一样，先找100以内的3的倍数，而且又是偶数的。3除100可得33，就是一共有三十三个3的倍数。第一个3和末一个99都是奇数。所以，100以内，只有16个3的倍数是偶数。”周学敏回答得清楚极了。

“那么，混合的方法，是不是就有十六种呢？”马先生又提出了问题。

“只好一个一个地做出来看了。”我说。

“那倒不必这么老实。例如第一个比两项的和是3的倍数又是偶数，还是4的倍数的，大半就不必要。”马先生提出的这个条件，我还不明白是什么原因。我便追问：“为什么？”

“王有道，你试着解释看。”马先生叫王有道回答。

“因为：第一，100本是4的倍数。第二，第二个比总是由100减去第一个比的两项的和，折半得出来的，所以至少第二比的两项都是2的倍数。第三，这样合成的连比，三项都是2的倍数。用2去约，结果三项的和就在50以内，与前面用过的便重复了。例如24，若第一个比为8∶16。100减去24，剩76，折半是38，第二个比是38∶38。连比便是8∶38∶54，等于4∶19∶27。”王有道的解释我明白了。

“照这样说起来，十六个数中，有几个不必要的呢？”马先生又问。

“3的倍数又是4的倍数的，就是12的倍数。100用12去除，可得8。所以有8个是不必要的。”王有道想得真周到。

“剩下的八个数中，还有不合用的吗？”这个问题又把大家难住了。还是马先生来提示：“30的倍数，也是不必要的。”

这很容易考察，100以内30的倍数，只有30、60和90这三个。60又是12的倍数，依前面的说法，已不必要了，只剩30和90。它们同着100都是5和10的倍数。100和它们的差，当然是10的倍数，折半后便是5的倍数。两个比的各项同是5的倍数，它们合成的连比的三项，自然都可用5去约。结果这两个连比三项的和都成了20，也重复了。

所以八个当中又只有六个可用，那就是：

对于这一个例题，寻根究底地，弄得够多的了。接着马先生就讲第四类。

第四，求混合量——知道了一部分的量。

例六：每斤价8角、6角、5角的三种酒，混合成每斤价7角的酒。所用每斤价8角和6角的斤数的比为3∶1，怎样配合法？

这很简单。先作OA表示每斤7角。次作OB表示每斤8角，B正在纵线3上。从B作BC，表示每斤6角。C正在纵线4上——这样一来，两种斤数的比便是3∶1——从C再作CD表示每斤5角。CD和OA交在纵线5上的D。所以，三种的比是：

图144

试把计算法和它对照：

例七：每斤价5角、4角、3角的酒，混合成每斤价4角5分的，5角的用11斤，4角的用5斤，3角的要用多少斤？

本题的作图法，和前一题的，除所表的数目外，完全相同。由图上一望可知，OB1是11斤，B1C1是5斤，C1D1是2斤。和计算法比较，算起来还是麻烦些。

图145

由混合比得混合量，这一步比较麻烦，远不如画图法来得直接、痛快。先要依题目上所给的数量来观察，4角的酒是5斤，就用5去乘第二个比的两项。5角的酒是11斤，但有5斤已确定了，11减去5剩6，它是第一个比第一项的2倍，所以用2去乘第一个比的两项。这就得混合量中的第一栏。结果，三种酒依次是11斤、5斤、2斤。

例八：将三种酒混合，其中两种的总价是9元，合占1斗5升。第三种酒每升价3角，混成的酒每升价4角5分，求第三种酒的升数。

“这是弄点儿小聪明的题目，两种酒既然有了总价9元和总量1斗5升，这就等于一种了。”马先生说。

明白了这一点，还有什么难呢？

图146

作OA表示每升价4角5分的。OB表示1斗5升价9元的。从B作BC，表示每升价3角的。它和OA交于C。图上，OB1指1斗5升，OC1指3斗。OC1减去OB1剩B1C，指1斗5升，这就是所求的。

照这作法来计算，便是：

这题算完以后，马先生在讲台上，对着我们静静地站了两分钟：“李大成，你近来对算学的兴趣怎样？”

“觉得很浓厚。”我不由自主地很恭敬地回答。

“这就好了，你可以相信，算学也是人人能领受的了。暑假已快完了，你们也应当把各种功课都整理一下。我们的谈话，就到这一次为止。我希望你们不要偏爱算学，也不要怕它。无论对于什么功课，都不要怕！你们不怕它，它就怕你们。对于做一个现代人不可缺少的常识，以及初中各科所教的，别人能学，自己也就能学，用不着客气。勇敢和决心，是打破一切困难的武器。求知识，要紧！精神的修养，更要紧！”

马先生的话停住了，静静地听他讲话的我们都睁着一双贪得无厌的馋眼望着他。